Контрольная работа: Анализ стационарных и динамических объектов

Реализация решения задачи исследования нелинейного стационарного объекта в такой постановке может быть осуществлена с помощью средств системы символьной математики MathCAD 7.0 PRO .

2.1.3. Решение нелинейных алгебраических и трансцендентных уравнений

2.1.3.1. Постановка задачи. Пусть дано уравнение

, (2.1)

где функция определена и непрерывна на некотором интервале (А,В). Всякое значение , обращающее функцию в нуль, то есть такое, при котором , называется корнем уравнения (2.1), а процесс нахождения называется его решением.

Если функция представляет собой многочлен относительно , то уравнение называется нелинейным алгебраическим (например, ); если в функцию входят элементарные (тригонометрические, логарифмические, показательные и т.п.) функции, то такое уравнение называется трансцендентным (например, ).

2.1.3.2. Характеристика методов. Методы решения нелинейных алгебраических и трансцендентных уравнений (НАТУ) делятся на прямые и итерационные. Первые позволяют найти решение непосредственно с помощью формул и всегда обеспечивают получение точного решения. Однако прямые методы имеются только для ограниченного круга уравнений, поэтому на практике более широко используются итерационные методы.

В итерационных методах процедура решения задается в виде многократного применения некоторого алгоритма. Полученное решение всегда является приближенным, хотя может быть сколь угодно близким к точному.

В общем случае задача решается в 2 этапа:

определение приближенных значений корней уравнения;

уточнение корней до заданной степени точности с помощью одного из итерационных методов.

Для определения приближенных значений корней уравнения используются:

1) Построение графика функций и приближенное определение точек, где кривая пересекает ось Х.

Запись уравнения в виде и построение графиков двух функций: и . Точка их пересечения и есть корень исходного уравнения (5.1).

На втором этапе происходит уточнение корня с использованием критерия окончания итерационного процесса.

Итерационный процесс следует оканчивать, когда < , т.е. при близости двух последовательных приближений к корню.

Одним из итерационных методов для уточнения корня является метод Ньютона.

2.1.3.3.Метод Ньютона

2.1.3.3.1. Геометрическая интерпретация метода Ньютона. Геометрическая интерпретация метода Ньютона показана на рис 2.1.

Рис. 2.1. Метод Ньютона

Приняв в качестве начального приближения к корню некоторое значение , восстанавливаем перпендикуляр в точке к оси Х. В точке пересечения перпендикуляра с графиком функции , для которой отыскивается нуль, проводим касательную к кривой. Точка пересечения касательной с осью Х дает новое приближение к корню. После этого процесс повторяем для точки , получаем точку и т.д.

2.1.3.3.2. Получение формулы Ньютона. Определим рекуррентное соотношение для нахождения корня методом Ньютона.

Уравнение касательной в точке можно получить как уравнение прямой, проходящей через заданную точку и имеющей угловой коэффициент :

В точке пересечения касательной с осью Х, величина равняется нулю:

Отсюда

В общем случае для вычисления последующего приближения к корню по известному предыдущему формула Ньютона имеет вид: