Контрольная работа: Аналіз стійкості процесів в нелінійній схемі

. (5)

Тут - малі збурення, , - диференційна провідність і ємність в робочій точці, - оператор диференціювання, - провідність лінійної частини схеми.

Вираз (5) звуть рівнянням першого зближення. Йому відповідає лінійна схема, яка виходе із шуканої шляхом ввімкнення зовнішнього джерела живлення та заміни нелінійного опора і ємності на лінійні елементи з номіналами і . Таку схему називають лініаризованою.

Для вирішення питання відносно локальної стійкості використовується теорема, яку довів А.М. Ляпунов. Приведемо її в такій формі: якщо усі корені характеристичного полінома рівняння першого приближення мають від’ємні дійсні частини, то положення рівноваги асимптотично стійке. Якщо серед характеристичних коренів є хоч один з додатною дійсною частиною, то положення рівноваги нестійке.

З теореми витікає, що рівняння першого зближення не вирішує питання про стійкість при характеристичних коренях з нульовою дійсною частиною. Це так званий, критичний випадок. Ми не будемо на ньому зупинятися, вважаючи, що малою зміною якого-небудь параметра схеми ми від нього відходимо.

Таким чином, для аналізу стійкості положення рівноваги треба вирішити дві задачі: знайти характеристичний поліном лініарізованої схеми і встановити знак дійсної частини коренів цього поліному.

Друга задача була вирішена ще в минулому столітті. Це дало критерії стійкості, пізніше названими алгебраїчними. За їх допомогою про знак дійсної частини характеристичних коренів гадають по співвідношенню між коефіцієнтами полінома. Оскільки критерії стійкості, як алгебраїчні, так і частотні, докладніше розглянуті в ряді підручників, то обмежимось тут такими ствердженнями: найбільш зручний для обчислень на ЕОМ критерій Рауса; проводити за його допомогою аналіз можна лише при додатності усіх коефіцієнтів характеристичного полінома (інакше – якщо хоч один з коефіцієнтів від’ємний – серед коренів полінома будуть такі, у яких дійсна частина додатна і які називаються правими, тому що вони розташовуються в правій частині комплексної площини).

З появою ЕОМ і розвитком програмного забезпечення можливо вирішення другої задачі, пов’язаної з розрахунком характеристичних коренів. Це дає користувачу більш повну інформацію, дозволяючи, наприклад, при нестійкості локалізувати по мінімальній частині правих коренів елементи схеми, які більше всього впливають на стійкість.

Звернемось до першої задачі. Послідовність дій при її вирішені може бути такою. В шуканій нелінійній схемі знаходиться положення рівноваги – робоча точка на характеристиках нелінійних елементів. Ці характеристики лініарізуються в малому оточенні робочої точки і робиться перехід до лініарізованої схеми. Така схема є еквівалентною для малих відхилень від положення рівноваги. Для неї складається характеристичний поліном.

Всі етапи, до отримання еквівалентної схеми, можна зробити за допомогою ЕОМ. Доцільно покласти на машину і складання характеристичного полінома, тому, що при високому порядку схеми трудомісткість ручної роботи велика та зростає вірогідність помилок. Для розрахунка коефіцієнтів характеристичного полінома потрібна програма, яка дозволяє скласти функції кола в символьному та чисельно-символьному вигляді.

Довільна функція кола уявляє собою відношення поліномів від

.

Коефіцієнти поліномів залежать від параметрів елементів схеми.

Будемо казати, що функція кола записана в чисельно-символьному вигляді, якщо коефіцієнти її поліномів – числа. Очевидно, що при цьому всі параметри елементів схеми задані чисельними значеннями. Якщо всі або частина параметрів можуть приймати різні значення з деякого чисельного інтервалу, то такі елементи позначають символами (наприклад, , , і т.д.). Тоді коефіцієнти поліномів будуть функціями символів. Тепер будемо вважати, що функція кола подана в символьному вигляді.

Покажемо, як по функції кола визначити характеристичний поліном. Нехай відносно довільних двох точок еквівалентної схеми для малих збурень знайдено вхідний опір

,

де - джерело струма, ввімкнене на виділених затискачів схеми;

- напруга, викликана цим джерелом.

Представимо зв’язок між струмом і напругою в вигляді

.

Оскільки - оператор диференціювання, то цей вираз – диференційне рівняння, в якому - реакція схеми на зовнішній вплив . При рівняння описує приватні коливання напруги в схемі, тому - характеристичний поліном. Аналогічно виділяють характеристичні поліноми і при інших функціях кола.

Ми не будемо конкретизувати алгоритм аналізу локальної стійкості положення рівноваги нелінійної схеми, так як він залежить від програм, якими володіє розробник.

Накінець, розглянемо причини, які можуть порушити стійкість положення рівноваги в схемі. Частіш усього, таких причин дві – зворотній зв’язок та елементи, в характеристиці яких є спадаюча ділянка.

Зворотній зв’язок в окремих схемах створюється штучно, наприклад в автогенераторі. В підсилювачі потужності на біполярному транзисторі він може викликатися індуктивностями виводів та міжелектродними ємностями, а також ємністю одного із переходів.

Спадаюча ділянка в вольт-амперній характеристиці діода може створюватися спеціально (тунельний діод), але бувають випадки, коли вона виникає поза нашого бажання, наприклад, при напругах переважаючих гранично допустимі значення.

Уявлення про причини нестійкості допомагає цілеспрямовано впливати на їх. Крім того, наявна відсутність перелічених факторів може бути основою для відмови від аналізу стійкості.

3. Елементи теорії лінійних диференційних рівнянь із періодичними коефіцієнтами

Вище було показано, що поведінка малих відхилень від періодичного режиму визначається диференційними рівняннями з періодичними коефіцієнтами, які називаються рівняннями першого приближення. Стосовно до періодичного режиму за допомогою (4) отримаємо

. (6)