Контрольная работа: Аналіз стійкості процесів в нелінійній схемі

Нагадаємо, в рядах Фур’є для і члени при дорівнюють нулю.

Після елементарних перетворювань маємо

.

Покладемо . Тоді

.

Складена лінійна комбінація лінійно незалежних функцій може дорівнювати нулю тільки при перетворенні в нуль кожного співмножника, взятого в фігурні дужки:

, (10)

Отримали для спектральних складових напруги нескінечнну систему алгебраїчних рівнянь з нульовою правою частиною. Щоб рішення системи не було нульовим, треба вимагати рівності нулю її головного визначника . Цей нескінченний визначник зветься визначником Хілла. Він залежить від , що і дає шукане рівняння: .

Нехай - елемент визначника, належний до k-го рядка та m-го стовпця. Із (10) можна отримати

, (11)

.

За допомогою (11) знайдемо, що елементи головної діагоналі (k=m) дорівнюють одиниці.

Використовуючи (11), можна встановити наступну властивість: заміна на не змінює значення визначника

.

Це виникає тому, що змінивши нумерацію рядків після вказаного підставлення, отримаємо той самий визначник.

З цієї властивості витікає: якщо - корінь визначника, то коренями будуть . Отже, визначник має нескінченне число коренів. Встановлено, що кожному комплексному кореню відповідає комплексно-спряжений.

Нескінченний визначник Хіла вдалося звести до виразу, який для (9) має вигляд:

, (12)

де - корені знаменика z(p) в (9),

n – порядок рівняння (9),

- безкінечні чисельні визначники, не вміщаючи , які знаходяться із наступного рівняння:

. (13)

Значення чисельних визначників можна розраховувати із наперед заданою точністю. Доведено, що в сумі вони дорівнюють нулю.

Наприкінці визначимо суть полінома, вхідного до знаменника опору в рівнянні (9). Із виразу

витікає, що цей – опір між точками вмиканняння елементів з періодично змінними параметрами, в який увійшли середні значення змінної провідності та ємності. Знайти цей опор можна, підімкнувши до відповідних точок джерело струму , визначивши викликану ним напругу v та використав рівність . Звідки визначимо, що - характеристичний поліном схеми для малих збурень, в якій . Цю схему назвемо усередненою, оскільки вона крім лінійних елементів вміщає середнє значення періодично змінних провідностей та ємностей.

4. Зв’язок розрахунку періодичного режиму із аналізом стійкості