Контрольная работа: Длина дуги кривой в прямоугольных координатах
Возведя в квадрат выражения в скобках и выполнив элементарные преобразования, получаем:
.
Обычно данную формулу записывают следующим образом:
.
8 . Вычисление объемов тел по известным площадям поперечных сечений
Определенный интеграл в некоторых случаях может быть использован и для вычисления объемов тел. Это можно сделать, когда известны площади всех их поперечных сечений.
Пусть некоторое тело, объем которого необходимо определить, расположено вдоль оси 
между точками 
и 
. Пусть это тело обладает тем свойством, что известна площадь 
его любого поперечного сечения плоскостью 
, то есть плоскостью, перпендикулярной оси . Так как в общем случае величина этого сечения будет меняться, то 
. В случае, если поверхность тела является гладкой, а тело сплошным, то 
будет непрерывной функцией.
Разобьем отрезок 
точками 
на частичные отрезки и в каждой полученной точке проведем плоскость, перпендикулярную оси 
. Все тело при этом разобьется на слои, а его объем будет равен сумме объемов всех полученных слоев: 
.
Найдем приближенно величину объема 
-ого слоя 
. Для этого рассмотрим отрезок 
, длина которого равна 
. Возьмем некоторую точку 
и проведем в ней секущую плоскость, перпендикулярную оси . Если 
достаточно мало, то слой, соответствующий объему 
, можно практически считать прямым цилиндром с поперечным сечением равным 
. Но в этом случае, как и у кругового цилиндра, 
. Отсюда следует, что
.
Полученное выражение является интегральной суммой. Так как функция 
по условию непрерывна, то предел этой суммы при 
и 
существует и равен определенному интегралу:
.
Итак, объем тела с известными поперечными сечениями равен:
.
9 . Объем тела вращения
Рассмотрим теперь тело, полученное в результате вращения криволинейной трапеции вокруг оси . Пусть основанием этой трапеции является отрезок 
, расположенный на оси , и она ограничена непрерывной кривой 
. В этом случае в любом сечении полученного тела плоскостью, перпендикулярной оси , будет круг, радиус которого совпадает со значением функции 
в данной конкретной точке. Поэтому площадь сечения будет равна 
.
Подставив данное выражение в формулу для объема тела с известными площадями поперечных сечений, приведенную в предыдущем параграфе, получим:
.
Если трапеция вращается вокруг оси 
, то должна быть задана функция 
на отрезке 
. В этом случае объем тела вращения равен:
.
Литература
1. Крищенко Александр, Канатников Анатолий Аналитическая геометрия: Учебное пособие для студентов высших учебных заведений. Изд-во «Академия», 2009. – 208c.
2. Макарычев Юрий Тригонометрия. Издательство: ПРОСВЕЩЕНИЕ, 2004. – 360 с.
3. Потапов Михаил Задачи по алгебре, тригонометрии и элементарными функциями. Издательство: ЭКЗАМЕН XXI, 2008. – 160 с.
4. Тоом А., Гельфанд И., Львовский С. Тригонометрия. МЦМНО, 2003. – 200 с.