Контрольная работа: Фундаментальная группа. Конечные поля

Конечные поля

Цель работы: Изучить конструкцию и простейшие свойства конечных полей. В частности, изучить на примерах конечных полей понятие степени расширения, конструкцию и однозначную определенность поля разложения, простые поля, понятие примитивного элемента, строение конечной, мультипликативной подгруппы поля. Познакомиться с арифметикой конечных полей. Решить упражнение.

Докажем, что многочлен

неприводим над

.

.

Корней нет. => Многочлен неприводим.

Построим расширение поля степени . Пусть – корень , т.е.

,

тогда

Получим : .

расширение степени 3.

Разделим

.

.=

Cоставим систему:

=> Пусть , тогда =>

При β=3 => γ=2

Отсюда получаем, что

следовательно . Если q порождает – то, он примитивный. Найдем порядок . Так как порядок элемента делит порядок группы, порядок может быть 2, 4, 31, 62, 124.

.

Элемент θ – не является примитивным элементом GF (125), т.к не выполняются условия. Программа, проверяющая, будет ли примитивным элементом поля .

TForm1 *Form1;

--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--