Контрольная работа: Геометрические свойства кривых второго порядка

Теперь выберем такой угол , что в уравнении (2.7) коэффициент при произведении равен нулю. Получим уравнение относительно синуса и косинуса угла :

. (2.8)

Разделим правую и левую части данного уравнения почленно на . Мы можем это сделать, так как , потому что если (то есть ), то при подстановке в уравнение (2.8) получим, что и , что противоречит основному тригонометрическому тождеству . Получим уравнение

. (2.9)

Решая уравнение (2.9), получим

, .

Зная значение тангенса, можно вычислить значения синуса и косинуса по следующим формулам: , . Подставляя соответствующие значения тангенса, получаем:

Возьмем для определенности . Тогда соответствующие значения синуса и косинуса есть

, (2.10)

Подставляя (2.10) в уравнение (2.7), получаем:

и преобразовав данное уравнение, получим уравнение вида:

И, соответственно, уравнение

(2.11)

— это каноническое уравнение исходной гиперболы.

III . Фокусы, директрисы, эксцентриситет и асимптоты кривой

Пусть и — фокусы, — эксцентриситет, — центр, а — директрисы данной гиперболы. Известно, что фокусы имеют координаты: , , где и . Для данного уравнения гиперболы (2.11) получаем, что , , и значит . Отсюда получаем , .

Эксцентриситет гиперболы (2.11)

.

Директрисы гиперболы задаются уравнениями: и . Подставляя найденные значения и , получаем:

Прямые и в канонической системе координат называются асимптотами гиперболы. Для данной гиперболы (2.11) асимптоты имеют вид:

IV . Уравнения осей гиперболы в общей системе координат

Теперь напишем уравнения осей новой системы в исходной системе координат .

Так как система — каноническая для данной гиперболы, то ее центр находится в центре кривой — , то есть оси и проходят через точку .

В пункте II было установлено, что угловой коэффициент оси .