Контрольная работа: Интерполирование функций

Содержание

Введение

1. Формула Лагранжа

2. Интерполирование по схеме Эйткена

3. Интерполяционные формулы Ньютона для равноотстоящих узлов

4. Формула Ньютона с разделенными разностями

5. Интерполяция сплайнами

Заключение

Список литературы

Введение

Цель работы: изучение и сравнительный анализ методов интерполяции функций; реализация этих методов в виде машинных программ на языке высокого уровня и практическое решение задач интерполяции на ЭВМ.

При разработке математического обеспечения САПР часто приходится иметь дело с функциями f (x ), заданными в виде таблиц, когда известны некоторое конечное множество значений аргумента и соответствующие им значения функции. Аналитическое выражение функции f (x ) при этом неизвестно, что не позволяет определять ее значения в промежуточных точках аргумента, отсутствующих в таблице. В таком случае решается задача интерполирования, которая формулируется следующим образом.

На отрезке [a , b ] заданы n + 1 точки x ₀ , x ₁ , ..., x_n , которые называются узлами интерполяции, и значения некоторой функции f (x ) в этих точках f (x ₀ ) = y ₀ ,f (x ₁ ) = y ₁ , ..., f (x _n ) = y _n . Требуется построить интерполирующую функцию F (x ), принимающую в узлах интерполяции те же значения, что и f (x ), т.е. такую, что F (x ₀ ) = y ₀ ,F (x ₁ ) = y ₁ , ...,F (x _n ) = y_n .

Геометрически это означает, что нужно найти кривую y = F (x ) некоторого определенного типа, проходящую через заданную систему точек M_i (x_i , y_i ) дляi = . Полученная таким образом интерполяционная формула y = F (x ) обычно используется для вычисления значений исходной функции f (x ) для значений аргумента x , отличных от узлов интерполяции. Такая операция называется интерполированием функции f (x ). При этом различают интерполирование в узком смысле, когда x принадлежит интервалу [x ₀ , x_n ], и экстраполирование, когда x не принадлежит этому интервалу.

В такой общей постановке задача интерполирования может иметь бесчисленное множество решений. Чтобы получить единственную функцию F (x ), необходимо предположить, что эта функция не произвольная, а удовлетворяет некоторым дополнительным условиям.

В простейшем случае предполагается, что зависимость y = f (x ) на каждом интервале (x_i , x_{i +1} ) является линейной. Тогда для каждого участка (x_i , x_{i +1} ) в качестве интерполяционной формулы y =F (x ) используется уравнение прямой, проходящей через точки M_i (x_i , y _i ) и M_{i +1} (x_{i +1} , y _{i +1} ), которое имеет вид

. ( 1)

Припрограммировании процедур линейной интерполяции следует учитывать, что процесс решения задачи интерполирования с использованием формулы (1) включают два этапа: выбор интервала (x_i , x_{i +1} ), которому принадлежит значение аргумента х ; собственно вычисление значения y =F (x ) по формуле (1).

На практике в качестве интерполирующей функции F (x ) обычно используется алгебраический многочлен

P_n (x ) = a ₀ + a ₁ x + a ₂ x ² + ... +a_n xⁿ

степени не выше n , такой, что P_n (x ₀ ) = y ₀ ,P_n (x ₁ ) = y ₁ ,...,P_n (x_n ) = y_n . Наиболее известными методами построения интерполяционного многочлена P_n (x )являются метод Лагранжа, итерационные и разностные методы.

1. Формула Лагранжа

Интерполяционная формула Лагранжа обеспечивает построение алгебраического многочлена P_n (x ) для произвольно заданных узлов интерполирования. Для n + 1 различных значений аргумента x ₀ , x ₁ , ..., x_n и соответствующих значений функции f (x ₀ ) = y ₀ ,f (x ₁ ) = y ₁ , ..., f (x _n ) = y _n интерполяционная формула Лагранжа имеет вид

,

где х - значение аргумента функции, расположенного в интервале [x ₀ , x_n ].

Необходимо отметить, что формула Лагранжа, в отличие от других интерполяционных формул, содержит явно y_i (i = ), что бывает иногда важно.

Пример 1. Построить интерполяционный многочлен Лагранжа для функции, заданной следующей таблицей.

x 0 = 0,	x 1 = 1,	x 2 = 2,	x 3 = 5,
y 0 = 2,	y 1 = 3,	y 2 = 12,	y 3 = 147.

??? ?????? ??????? ????? ???????????? (n = 3) ????????? ???????? ?????????????? ????????? ???????:

Заменив переменные x_i , y_i (i = )их числовыми значениями, получим интерполяционный многочлен

Интерполирование по формуле Лагранжа связано с большим объемом вычислений, значительная часть которых повторяется при получении нескольких значений P_n (x ) для одной функции f (x ). В том случае, когда формула Лагранжа используется для многократного получения значений одной функции при различных значениях аргумента, можно значительно уменьшить объем вычислений. Для этого формула Лагранжа представляется в виде

??? - ?????????? ????????????, ???????????? ???

?????????? ??????????? ????????????? ??????????? ?? ????????? ?????, ??????? ??? ????????????? ???. ???????????? ??????? ?????????:

--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--