Контрольная работа: Интерполирование функций
Запишем многочлен Эрмита для интервала [xi- 1 , xi ], где hi = xi - xi- 1 :
При таком выборе кубического многочлена автоматически выполняются условия непрерывности функции и ее первых производных:
Чтобы определить сплайн, нужно задать условия непрерывности второй производной:
Для записи этих условий в развернутом виде определим кубический многочлен Эрмита на интервале [xi , xi +1 ], где hi +1 = xi +1 - xi :
Определим вторые производные многочленов Qi (x ) и Qi +1 (x ) в точке x = xi :
(4)
(5)
Отсюда условие непрерывности вторых производных имеет вид:
(6)
Это условие порождает систему линейных уравнений относительно наклонов сплайна Si , которая содержит n - 1 уравнение и n + 1 переменную. Чтобы определить два недостающих уравнения используются граничные условия. Например, для естественного кубического сплайна:
Указанные граничные условия могут быть получены из уравнения (5) для i = 0 и из уравнения (4) для i = n соответственно. В развернутом виде:
(7)
Решение системы линейных уравнений, образованной условиями (6) и (7), позволяет вычислить наклоны сплайна Si (i = 
) и определить кубический сплайн путем записи многочлена Эрмита для каждого интервала [xi- 1 , xi ],i = 
.
Заключение
В вычислительной математике существенную роль играет интерполяция функций, т.е. построение по заданной функции другой (как правило, более простой), значения которой совпадают со значениями заданной функции в некотором числе точек. Причем интерполяция имеет как практическое, так и теоретическое значение. На практике часто возникает задача о восстановлении непрерывной функции по ее табличным значениям, например полученным в ходе некоторого эксперимента. Для вычисления многих функций оказывается эффективно приблизить их полиномами или дробно-рациональными функциями. Теория интерполирования используется при построении и исследовании квадратурных формул для численного интегрирования, для получения методов решения дифференциальных и интегральных уравнений.
Список литературы
1. В.В. Иванов. Методы вычислений на ЭВМ. Справочное пособие. Изд-во "Наукова думка". Киев. 1986.
2. Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков. Численные методы. Изд-во "Лаборатория базовых знаний". 2003.
3. И.С. Березин, Н.П. Жидков. Методы вычислений. Изд. ФизМатЛит. Москва. 1962.
4. К. Де Бор. Практическое руководство по сплайнам. Изд-во "Радио и связь". Москва. 1985.
5. Дж. Форсайт, М.Мальком, К. Моулер. Машинные методы математических вычислений. Изд-во "Мир". Москва. 1980.