Контрольная работа: Кривые второго порядка. Квадратичные формы

1. Понятие квадратичной формы и способы ее записи

2. Знакоопределенность квадратичных форм

3. Критерии положительной и отрицательной определенностей

Литература

1. Понятие квадратичной формы и способы ее записи

Квадратичной формой j (х₁ , х₂ , …, x_n ) n действительных переменных х₁ , х₂ , …, x_n называется сумма вида

,(1)

где a_ij – некоторые числа, называемые коэффициентами. Не ограничивая общности, можно считать, что a_ij = a_ji .

Квадратичная форма называется действительной, если a_ij Î ГR. Матрицей квадратичной формы называется матрица, составленная из ее коэффициентов. Квадратичной форме (1) соответствует единственная симметричная матрица

то есть А^Т = А. Следовательно, квадратичная форма (1) может быть записана в матричном виде j(х) = х^Т Ах, где

х^Т = (х₁ х₂ … x_n ). (2)

И, наоборот, всякой симметричной матрице (2) соответствует единственная квадратичная форма с точностью до обозначения переменных.

Рангом квадратичной формы называют ранг ее матрицы. Квадратичная форма называется невырожденной, если невырожденной является ее матрица А. (напомним, что матрица А называется невырожденной, если ее определитель не равен нулю). В противном случае квадратичная форма является вырожденной.

Пример 1.

Записать матрицу квадратичной формы

j (х₁ , х₂ , x₃ ) = – 6х₁ х₂ – 8х₁ х₃ + + 4х₂ х₃ –

и найти ее ранг.

Решение.

Þr(A) = 3 Þ

квадратичная форма невырождена.

2. Знакоопределенность квадратичных форм

Квадратичная форма (1) называется положительно определенной (или строго положительной), если j(х) > 0, для любого х = (х₁ , х₂ , …, x_n ), кроме х = (0, 0, …, 0).

Матрица А положительно определенной квадратичной формы j(х) также называется положительно определенной. Следовательно, положительно определенной квадратичной форме соответствует единственная положительно определенная матрица и наоборот.

Квадратичная форма (1) называется отрицательно определенной (или строго отрицательной), если j(х) < 0, для любого х = (х₁ , х₂ , …, x_n ), кроме х = (0, 0, …, 0).

Аналогично как и выше, матрица отрицательно определенной квадратичной формы также называется отрицательно определенной.

Следовательно, положительно (отрицательно) определенная квадратичная форма j(х) достигает минимального (максимального) значения j(х*) = 0 при х* = (0, 0, …, 0).

--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--