Контрольная работа: Кривые второго порядка. Квадратичные формы

Пример 2.

Определить знакоопределенность следующих квадратичных форм.

1)

Þ

т. е. квадратичная форма является положительно определенной.

2)

Þ

т. е. квадратичная форма является отрицательно определенной.

3)

Þ

данная квадратичная форма не является знакоопределенной, так как она равна 0 во всех точках прямой х₁ = –х₂ , а не только в начале системы координат.

Когда n > 2 требуются специальные критерии для проверки знакоопределенности квадратичной формы. Рассмотрим их.

Главными минорами квадратичной формы называются миноры:

то есть это миноры порядка 1, 2, …, n матрицы А, расположенные в левом верхнем углу, последний из них совпадает с определителем матрицы А.

3. Критерий положительной и отрицательной определенности

Критерий положительной определенности (критерий Сильвестра)

Для того чтобы квадратичная форма j(х) = х^Т Ах была положительно определенной, необходимо и достаточно, что все главные миноры матрицы А были положительны, то есть:

М₁ > 0, M₂ > 0, …, M_n > 0.

Критерий отрицательной определенности

Для того чтобы квадратичная форма j(х) = х^Т Ах была отрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы ее главные миноры четного порядка были положительны, а нечетного – отрицательны, то есть:

М₁ < 0, M₂ > 0, М₃ < 0, …, (–1)ⁿ M_n > 0.

Пример 3.

При каких значениях а и в квадратичная форма будет положительно определенной?

j (х₁ , х₂ , x₃ ) =

Решение.