Контрольная работа: Математичне програмування
Завдання 1
Побудувати математичну модель задачі.
Фірма, що спеціалізується на виробництві електроприладів, отримала замовлення на виготовлення 100 електроплит. Конструкторами запропоновано до випуску три моделі плит А, В і С за ціною відповідно 100, 60 та 50 грн.од. Норми витрат сировини для виготовлення однієї електроплити різних моделей та запас сировини на фірмі наведено в таблиці.
| Сировина | Норми витрат сировини, грн.од. | Запас сировини, грн.од. | ||
| А | В | С | ||
| І | 10 | 4 | 5 | 700 |
| ІІ | 3 | 2 | 1 | 400 |
| Ціна, грн.од. | 100 | 60 | 50 | |
Визначити оптимальні обсяги виробництва електроплит різних моделей, що максимізують дохід фірми.
Розв’язок
Складаємо математичну модель задачі. Позначимо через х1 кількість електроплит 1-ї моделі, що виготовляє фірма за деяким планом, а через х2 кількість електроплит 2-ї моделі та через та через х3 кількість виробів 3-ї моделі Тоді прибуток, отриманий фірмою від реалізації цих електроплит, складає
∫ = 100х1 + 60х2+ 50х3.
Витрати сировини на виготовлення такої кількості виробів складають відповідно:
А =10х1 + 4х2 + 5х3,
В =3х1 + 2х2 + 1х3,
Оскільки запаси сировини обмежені, то повинні виконуватись нерівності:
10х1 + 4х2 + 5х3 ≤ 700
3х1 + 2х2 + 1х3 ≤ 400
Оскільки, кількість виробів є величина невід'ємна, то додатково повинні виконуватись ще нерівності: х1> 0, х2> 0, х3> 0.
Таким чином, приходимо до математичної моделі (задачі лінійного програмування):
Знайти х1 , х2, х3 такі, що функція∫ = 100х1 + 60х2 + 50х3 досягає максимуму при системі обмежень:
Розв'язуємо задачу лінійного програмування симплексним методом. Введемо балансні змінні х4 ≥ 0, х5 ≥ 0. Їх величина поки що невідома, але така, що перетворює відповідну нерівність у точну рівність. Після цього, задача лінійного програмування набуде вигляду: ∫ = 100х1 + 60х2 + 50х3 → max при обмеженнях
де х1,...,х5>0
Оскільки завдання вирішується на максимум, то ведучий стовпець вибирають по максимальному негативному кількістю та індексного рядку. Всі перетворення проводять до тих пір, поки не вийдуть в індексному рядку позитивні елементи.
Складаємо симплекс-таблицю:
| Базис | x1 | х2 | x3 | x4 | x5 | b | |
| I | II | III | IV | V | VI | VII | |
| а | 0 | 10 | 4 | 5 | 1 | 0 | 700 |
| б | 0 | 3 | 2 | 1 | 0 | 1 | 400 |
| d | Індексний рядок, ∆i | 100 | 60 | 50 | 0 | 0 | 0 |
Складаємо перший план. Оскільки змінних х4,х5в цільовій функції немає, то їм відповідають коефіцієнти 0;
| План | Базис | В | x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | min |
| 1 | x4 | 700 | 10 | 4 | 5 | 1 | 0 | 70 |
| x5 | 400 | 3 | 2 | 1 | 0 | 1 | 133.33 | |
| Індексний рядок | F(X1) | 0 | -100 | -60 | -50 | 0 | 0 | 0 |
Оскільки, в індексному рядку знаходяться негативні коефіцієнти, поточний опорний план неоптимальний, тому будуємо новий план. У якості ведучого виберемо елемент у стовбці х1, оскільки значення коефіцієнта за модулем найбільше.
| План | Базис | В | x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | min |
| 2 | x1 | 70 | 1 | 0.4 | 0.5 | 0.1 | 0 | 175 |
| x5 | 190 | 0 | 0.8 | -0.5 | -0.3 | 1 | 237.5 | |
| Індексний рядок | F(X2) | 7000 | 0 | -20 | 0 | 10 | 0 | 0 |
Даний план, також не оптимальний, тому будуємо знову нову симплексну таблицю. У якості ведучого виберемо елемент у стовбці х2.
| План | Базис | В | x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | min |
| 3 | x2 | 175 | 2.5 | 1 | 1.25 | 0.25 | 0 | 175 |
| x5 | 50 | -2 | 0 | -1.5 | -0.5 | 1 | 237.5 | |
| Індексний рядок | F(X3) | 10500 | 50 | 0 | 25 | 15 | 0 | 0 |
Оскільки всі оцінки >0, то знайдено оптимальний план, що забезпечує максимальний прибуток: х1=0, х2=175, х3=0, х4=0, х5=50. Прибуток, при випуску продукції за цим планом, становить 10500 грн.
Дамо економічну трактову розв'язку: щоби досягнути максимально можливого, за умов задачі, прибутку (10500 грн.), необхідно виробів другої моделі випустити 175 од.
Завдання 2
Записати двоїсту задачу до поставленої задачі лінійного програмування. Розв’язати одну із задач симплексним методом і визначити оптимальний план іншої задачі. Оптимальні результати перевірити графічно.
--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--