Контрольная работа: Механика сплошной среды

или (2.3)

Распишем материальную производную правой части (2.3) и воспользуемся уравнением неразрывности в форме (1.10). Это даст

. (2.4)

Подстановка этого выражения в правую часть (2.3) и объединение членов приводят к интегральной форме теоремы об изменении количества движения:

или (2.5)

Так как объем V произволен, само подинтегральное выражение (2.5) должно обращаться в нуль. Полученные таким образом уравнения

, или (2.6)

называются уравнениями движения.

Для случая равновесия, когда отсутствуют ускорения, из (2.6) получаются уравнения, называемые у равнениями равновесия

, или (2.7)

3. Теорема об изменении момента количества движения

Будем предполагать, что момент количества движения для сплошной среды равен моменту вектора количества движения относительно какой-либо точки. Так, для части континуума, изображенной на рис. 2.1, полный момент количества движения относительно начала координат по определению равен интегралу

, или , (3.1)

где - радиус-вектор элемента объема dV. Теорема об изменении момента количества движения утверждает, что скорость изменения момента количества движения произвольно выбранной части континуума относительно любой точки равна главному моменту (относительно той же точки) массовых и поверхностных сил, действующих на рассматриваемую область среды. Для объема V сплошной среды можно написать уравнение момента количества движения в интегральной форме:

,

или (3.2)

Уравнение (3.2) справедливо для таких сред, в которых силы взаимодействия частиц равны по величине, коллинеарны и противоположны по направлению, а распределенные моменты отсутствуют. Уравнение момента количества движения не всегда представляет собой новое дифференциальное уравнение. Если в (3.2) подставить и предположить симметрию тензора напряжений, то уравнение будет удовлетворено тождественно при учете только соотношения (2.6). Если же симметрия тензора напряжений не предполагается заранее, то она получается как прямое следствие уравнения (3.2), которое после подстановки сводится к виду

, или (3.3)

В силу произвольности объема V это ведет к равенствам

, или , (3.4)

откуда видно, что .

ЗАДАНИЕ ДЛЯ РАСЧЕТНОЙ РАБОТЫ

По заданному в эйлеровых координатах закону распределения компонент тензора истинных напряжений, полагая плотность постоянной, определить:

1. Закон распределения массовых сил, при котором среда находится в равновесии.

2. Построить эпюры нормальных и касательных составляющих вектора напряжений на границе куба со сторонами .

3. Найти главный вектор поверхностных (определить нормальную и касательную составляющие) сил и массовых сил.