Контрольная работа: Метод найменших квадратів
Побудова емпіричних формул найпростіших нелінійних залежностей. Нехай у системі координат маємо нелінійну залежність
, неперервну і монотонну на відрізку
.
Введемо змінні ,
так, щоб у новій системі координат
задана емпірична нелінійна залежність стала лінійною
. (10)
Тоді точки з координатами в площині
лежатимуть на прямій лінії.
Покажемо, як від нелінійних залежностей
, 2)
, 3)
,
, 5)
, 6)
перейти до лінійних.
1) Розглянемо степеневу залежність , де
,
,
.
Логарифмуючи її, знаходимо . Звідси, поклавши
,
,
,
, маємо
.
2) Логарифмуючи показникову залежність , маємо
. Поклавши
,
,
,
в системі координат
дістанемо залежність (10).
Зазначимо, що замість показникової залежності часто шукають залежність
. Остання перетвориться в лінійну, якщо позначити
,
,
,
.
3) Щоб перейти від логарифмічної залежності до лінійної
, досить зробити підстановку
,
.
4) У гіперболічній залежності замінимо змінні ,
. Тоді гіперболічна залежність перетвориться в лінійну (10), в якій
,
.
5) Розглянемо дробово-лінійну функцію . Знайдемо обернену функцію
. Тоді ввівши нові координати
,
, дістанемо лінійну залежність (10), де
,
.
6) Нехай маємо дробово-раціональну залежність . Оберненою до неї буде залежність
. Ввівши нові змінні
,
, дістанемо лінійну залежність (10) з коефіцієнтами
,
.
Отже, для побудови будь-якої з емпіричних формул 1)-6) треба:
а) за вихідною таблицею даних побудувати нову таблицю
, використавши відповідні формули переходу до нових координат;
б) за новою таблицею даних знайти методом найменших квадратів коефіцієнти і
лінійної функції (10);
в) за відповідними формулами знайти коефіцієнти і
даної нелінійної залежності.
Вибрати емпіричну формулу для нелінійних залежностей графічним методом часто буває важко. Тоді вдаються до перевірки аналітичних критеріїв існування певної залежності. Для цього зводять її до лінійної і перевіряють виконання критерію лінійної залежності між перетвореними вихідними даними . Але є й власні аналітичні критерії наявності кожної з розглянутих вище нелінійних залежностей. Найпростіші необхідні умови їх наявності подано в табл. 2.
Таблиця 2
№ пор. |
Емпірична формула |
|
|
Спосіб вирівнювання |
1 |
|
К-во Просмотров: 251
Бесплатно скачать Контрольная работа: Метод найменших квадратів
|