Контрольная работа: Метод найменших квадратів

Побудова емпіричних формул найпростіших нелінійних залежностей. Нехай у системі координат маємо нелінійну залежність , неперервну і монотонну на відрізку .

Введемо змінні , так, щоб у новій системі координат задана емпірична нелінійна залежність стала лінійною

. (10)

Тоді точки з координатами в площині лежатимуть на прямій лінії.

Покажемо, як від нелінійних залежностей

, 2) , 3) ,

, 5) , 6)

перейти до лінійних.

1) Розглянемо степеневу залежність , де , , .

Логарифмуючи її, знаходимо . Звідси, поклавши , , , , маємо .

2) Логарифмуючи показникову залежність , маємо . Поклавши , , , в системі координат дістанемо залежність (10).

Зазначимо, що замість показникової залежності часто шукають залежність . Остання перетвориться в лінійну, якщо позначити , , , .

3) Щоб перейти від логарифмічної залежності до лінійної , досить зробити підстановку , .

4) У гіперболічній залежності замінимо змінні , . Тоді гіперболічна залежність перетвориться в лінійну (10), в якій , .

5) Розглянемо дробово-лінійну функцію . Знайдемо обернену функцію . Тоді ввівши нові координати , , дістанемо лінійну залежність (10), де , .

6) Нехай маємо дробово-раціональну залежність . Оберненою до неї буде залежність . Ввівши нові змінні , , дістанемо лінійну залежність (10) з коефіцієнтами , .

Отже, для побудови будь-якої з емпіричних формул 1)-6) треба:

а) за вихідною таблицею даних побудувати нову таблицю , використавши відповідні формули переходу до нових координат;

б) за новою таблицею даних знайти методом найменших квадратів коефіцієнти і лінійної функції (10);

в) за відповідними формулами знайти коефіцієнти і даної нелінійної залежності.

Вибрати емпіричну формулу для нелінійних залежностей графічним методом часто буває важко. Тоді вдаються до перевірки аналітичних критеріїв існування певної залежності. Для цього зводять її до лінійної і перевіряють виконання критерію лінійної залежності між перетвореними вихідними даними . Але є й власні аналітичні критерії наявності кожної з розглянутих вище нелінійних залежностей. Найпростіші необхідні умови їх наявності подано в табл. 2.

Таблиця 2

№ пор.	Емпірична формула			Спосіб вирівнювання
1		« 1 2 3 4 5 » К-во Просмотров: 245 Бесплатно скачать Контрольная работа: Метод найменших квадратів >>> Скачать <<< Меню Поиск