Контрольная работа: Метод простых итераций с попеременно чередующимся шагом
.
Для упрощения будем считать число 
чётным, т.е. 
и найдём оценку для 
. С этой целью оценим модуль подынтегральной функции
.
. Первый сомножитель 
для 
. Второй сомножитель 
для малых 
близок к единице, т.е. тоже положителен. Поэтому 
по крайней мере для всех 
, не превосходящих первой стационарной точки. Найдём стационарные точки функции 
.
.
Первые два сомножителя не равны нулю, в противном случае . Следовательно, 
─ полное квадратное уравнение. Отсюда получим, что
─ стационарные точки функции . Рассмотрим 
:
где 
.
Имеем
,
так как первые два сомножителя при условии (4.3) положительны. Значит, 
─ точка максимума функции . Оценим 
в точке .
Покажем, что
. (4.7)
Предположим, что (4.7) справедливо. Оно равносильно неравенству
,
которое, в свою очередь, равносильно такому
(4.8)
Возведение в квадрат обеих частей неравенства (4.8) даст эквивалентное неравенство, если левая часть неотрицательна. Установим, при каких это будет.
Очевидно, при 
, 
.
Будем считать и возведём обе части неравенства (4.8) в квадрат. После приведения подобных членов получим
или
,
т.е.
.
При последнее неравенство справедливо и, следовательно, в силу равносильности неравенств, справедливо неравенство (4.7). Отсюда