Контрольная работа: Методика економіко-математичного програмування
Оскільки всі оцінки >0, то знайдено оптимальний план, що забезпечує максимальний прибуток: х1=40, х2=5. Прибуток, при випуску продукції за цим планом, становить 130 грн.
Завдання 2
Записати двоїсту задачу до поставленої задачі лінійного програмування. Розв’язати одну із задач симплексним методом і визначити оптимальний план іншої задачі.
Розв’язок
Розв’яжемо задачу лінійного програмування симплексним методом.
Визначимо мінімальне значення цільової функції F(X) = x1+3x2при наступних умовах-обмежень.
9x1+10x2≥45
5x1-x2≤42
-x1+13x2≤4
Для побудови першого опорного плану систему нерівностей приведемо до системи рівнянь шляхом введення додаткових змінних.
9x1 + 10x2-1x3 + 0x4 + 0x5 = 45
5x1-1x2 + 0x3 + 1x4 + 0x5 = 42
-1x1 + 13x2 + 0x3 + 0x4 + 1x5 = 4
Введемо штучні змінні x.
9x1 + 10x2-1x3 + 0x4 + 0x5 + 1x6 = 45
5x1-1x2 + 0x3 + 1x4 + 0x5 + 0x6 = 42
-1x1 + 13x2 + 0x3 + 0x4 + 1x5 + 0x6 = 4
Для постановки задачі на мінімум цільову функцію запишемо так:
F(X) = x1+3x2+Mx6 =>min
Вважаючи, що вільні змінні рівні 0, отримаємо перший опорний план:
X1 = (0,0,0,42,4,45).
| План | Базис | В | x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | х6 |
| 0 | х6 | 45 | 9 | 10 | -1 | 0 | 0 | 1 |
| x4 | 42 | 5 | -1 | 0 | 1 | 0 | 0 | |
| х5 | 4 | -1 | 13 | 0 | 0 | 1 | 0 | |
| Індексний рядок | F(X0) | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Переходимо до основного алгоритму симплекс-методу.
| План | Базис | В | x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | x6 | min |
| 1 | х6 | 45 | 9 | 10 | -1 | 0 | 0 | 1 | 5,5 |
| x4 | 42 | 5 | -1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | |
| х5 | 4 | -1 | 13 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0,3077 | |
| Індексний рядок | F(X1) | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Оскільки, в індексному рядку знаходяться позитивні коефіцієнти, поточний опорний план неоптимальний, тому будуємо новий план. У якості ведучого виберемо елемент у стовбці х2, оскільки значення коефіцієнта за модулем найбільше.
| План | Базис | В | x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | x6 | min |
| 2 | х6 | 41,92 | 9,77 | 0 | -1 | 0 | -0,7692 | 1 | 4,29 |
| x4 | 42,31 | 4,92 | 0 | 0 | 1 | 0,0769 | 0 | 8,59 | |
| х2 | 0,3077 | -0,0769 | 1 | 0 | 0 | 0,0769 | 0 | 0 | |
| Індексний рядок | F(X2) | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Даний план, також не оптимальний, тому будуємо знову нову симплексну таблицю. У якості ведучого виберемо елемент у стовбці х1.
| План | Базис | В | x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | x6 | min |
| 3 | х1 | 4,29 | 1 | 0 | -0,1024 | 0 | -0,0787 | 0,1024 | 0 |
| x4 | 21,18 | 0 | 0 | 0,5039 | 1 | 0,4646 | -0,5039 | 45,59 | |
| х2 | 0,6378 | 0 | 1 | -0,0079 | 0 | 0,0709 | 0,0079 | 9 | |
| Індексний рядок | F(X3) | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Даний план, також не оптимальний, тому будуємо знову нову симплексну таблицю. У якості ведучого виберемо елемент у стовбці х5.
| План | Базис | В | x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | x6 |
| 4 | х1 | 5 | 1 | 1,11 | -0,1111 | 0 | 0 | 0,1111 |
| x4 | 17 | 0 | -6,56 | 0,5556 | 1 | 0 | -0,5556 | |
| х5 | 9 | 0 | 14,11 | -0,1111 | 0 | 1 | 0,1111 | |
| Індексний рядок | F(X4) | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Оптимальний план можна записати так:
x1 = 5