Контрольная работа: Модель авторегрессии в корреляционной теории

. (9)

В этом легко убедиться, продифференцировав (9) по ^, и приравняв производную к нулю. При этом полученная система уравнений совпадает с (4а).

Достоинством модели АР является ее конструктивность, заключающаяся в возможности синтеза довольно простым образом алгоритмов обработки случайных процессов.

На рис. 1 представлен АР фильтр предсказания (обеляющий фильтр), алгоритм действия которого описывается выражением (3). Он состоит из линий задержки, усилителей с коэффициентами усиления ,и сумматора.

Ошибки предсказания на выходе этого фильтра будут отсчетами белого шума, а точнее некоррелированным процессом. Дисперсия ошибки предсказания на выходе фильтра будет иметь минимальное значение, если коэффициенты АР найдены из уравнения (4а).

Порядок процесса АР определяется с использованием различных критериев, как правило, основанных на минимизации некоторой теоретико-информационной функции. Для определения порядка модели пользуются методами Бартлетта, Акайке, Парзена.

Порядок модели можно находить из условия не убывания дисперсии ошибки предсказания при дальнейшем повышении порядка. Довольно эффективным методом определения порядка модели АР является метод, основанный на проверке близости корреляционной функции случайного процесса на выходе обеляющего АР фильтра к корреляционной функции белого шума.

Рисунок 1. АР фильтр предсказания

Процессы АР можно характеризовать конечным числом значений функции, определяемой корреляционной функцией.

Такая функция носит название частной автокорреляционной функции. Ее можно выразить через коэффициенты АР, порядок которых изменяется от единицы до .

Т.к. коэффициент АР с номером полагается равным нулю, то процесс АР можно характеризовать конечным набором не равных нулю коэффициентов АР, с номером равным р для моделей АР с порядками от единицы до ^- , .

Поэтому значения частной автокорреляционной функции полагаются равными , . Можно показать, что первые три значения частной автокорреляционной функции описываются выражениями вида

,

,

. (10)

Достоинством частной автокорреляционной функции по сравнению с автокорреляционной функцией является ее конечная длина.

Как показал Бартлетт, значение частной автокорреляционной функции можно полагать равным нулю, если оно меньше , где - длина реализации, по которой производилась оценка значений функции корреляции. Таким образом, по существу, производится оценка порядка модели АР.

2. Спектр процесса авторегрессии

Формула для нахождения спектра модели АР лежит в основе параметрического спектрального оценивания.

Для ее вывода будем рассматривать процесс АР как реакцию формирующего фильтра , на вход которого подаются некоррелированные отсчеты .

Можно показать, что -преобразование передаточной функции АР фильтра имеет вид

, (11)

где

, . (12)

-преобразования СПМ выходного и входного процессов связаны соотношением

. (13)