Контрольная работа: Модель авторегрессии в корреляционной теории
1. Принципы построения модели авторегрессии
В основу модели АР положена корреляция отсчета случайного процесса в текущий момент времени с некоторым конечным или бесконечным числом отсчетов в предыдущие моменты времени. Корреляционные связи позволяют осуществить регрессию текущего отсчета на предшествующие отсчеты.
Такой вид регрессии называется авторегрессией. В уравнении АР текущий отсчет представляется взвешенной суммой предыдущих с некоторыми коэффициентами веса
, (1)
где 
- коэффициенты АР, 
- некоррелированные случайные отсчеты, 
- порядок модели АР.
Величина
, (2)
называется предсказанием случайной величины 
. Разность между текущим значением отсчета и его предсказанием называется ошибкой предсказания
. (3)
Величина характеризует, по существу, максимальную точность предсказания текущего отсчета, а ее статистические свойства определяют выбор порядка модели АР.
Из (1) видно, что построение АР модели случайного процесса сводится к нахождению коэффициентов АР и определению порядка .
Умножив правую и левую части (1) на 
, а затем усреднив, можно получить систему 
уравнений
, 
, (4a)
, (4б)
где 
- значения функции корреляции случайного процесса
- дисперсия ошибок предсказания модели АР, 
- дисперсия случайного процесса . Набор уравнений (4а) и (4б) называется полной системой уравнений Юла – Уокера.
Решением этой системы являются коэффициенты АР и дисперсия ошибок предсказания. При выводе уравнений (4а) было учтено, что
, 
, 
, (5a)
, , . (5б)
Соотношения (5) следуют из некоррелированности ошибок предсказания . Решение системы уравнений (4а) можно представить в матричном виде
, (6a)
где
,
,
. (6б)
Как видно из (4а), уравнение не изменится, если вместо 
использовать нормированные значения функции корреляции 
, которые называются коэффициентами корреляции. Очевидно, что при этом параметры модели АР останутся прежними.
Как следует из (6а, б), для первого порядка модели АР
. (7)
Для модели АР второго порядка коэффициенты АР равны
,
. (8)
--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--