Контрольная работа: Область определения функции
f (x)=3x2 -18x+7 на промежутке [-5; -1].
Решение.
Функция непрерывна и дифференцируема в каждой точке промежутка |-5; -1|.
Наименьшее (и наибольшее) значения непрерывной на отрезке функции могут достигаться либо на концах отрезка, либо в критических точках, принадлежащих этому отрезку.
Найдем производную f ( x ) функции f ( x ), используя свойства производной (теоремы о дифференцировании суммы функций и о вынесении постоянного множителя за знак производной) и формулу дифференцирования степенной функции:
(f (x) +g (x)) =f (x) + g (x) | |
| (xm ) = m xm -1 | |
| C=0 | |
f (x)=(3x2 -18x+7) =3 (x2 )-18 x +7=3 2x2-1 -18 x1-1 +0=6x-18.
Для нахождения критических точек составим и решим уравнение:
| f (x)=0 |
6x-18=0, x=3c[-5; -1].
Так как критическая точка не принадлежит отрезку [-5; -1], то вычислим значения функции f (x) только на концах отрезка [-5; -1] и из них выберем наименьшее значение:
f (x)=3x2 -18x+7,
f (-5)=3 (-5)2 -18 (-5)+7=75+90+7=172,
f (-1)=3 (-1)2 -18 (-1)+7=3+18+7=28.
Наименьшим из вычисленных значений функции является число 28:
min f (x)=f (-1)=28.
[-5; -1]
Ответ : min f (x)=f (-1)=28.
[-5; -1]
5. Найдите все функции, которые имеют одну и ту же производную: f ( x )= x +5 sinx
Решение.
Найдем область определения D ( f ) функции f (x):
D ( f )=(- ~;~).
Все функции, имеющие производную, равную f (x), называют множеством всех первообразных F ( x ) функции f (x) на некотором промежутке (в данном случае, на области определения D ( f )=(- ~;~)) или, как это общепринято в математике, неопределенным интегралом функции f (x) на указанном промежутке и ( общепринято) обозначают:
| | f(x)dx=F(x)+C |
Используя свойства неопределенного интеграла
| |( f ( x ) + g ( x )) dx = |f ( x ) dx + |g ( x ) dx | |
| |af(x) dx=a|f(x)dx | |
и таблицу неопределённых интегралов
|
xm +1 | xm dx =m+1 + C , где m= -1 | |
| |sinx dx = -cosx + C | |
получим:
F (x)=| f (x)dx = | (x + 5sinx)dx = | xdx + 5| sinxdx = 1+1 + 5 (- cosx) + C= 2 -5cosx + C .