Контрольная работа: Построение порождающего полинома циклического кода по его корням (степеням корней)

Теорема 2 . Минимальный полином элемента равен

,

где сопряженные элементы

Следствие из теоремы 2: Все элементы GF(p^m ) являются корнями полиномов.

Построим минимальный полином для элемента из GF(2⁴ ). Сопряженные элементы для найдены выше.

Используя теорему 2, запишем минимальный полином в общем виде:

Теперь нужно раскрыть скобки, по обычным правилам, не приводя подобные, помня что, операция вычитания определена по правилам для поля GF(2), и она эквивалента операции сложения.

Если один из элементов имеет степень выше, чем максимальная степень элементов в таблице 1 (циклической группе), обозначим такой элемент как , то необходимо разделить на полином, по которому было построено расширение, и взять остаток от деления, остаток будет являться искомым элементом. Это обеспечивается тем, что мультипликативная группа примитивного элемента образует циклическую группу (см. выше).

Теперь, нужно заменить элементы разложения на элементы из GF(p^m ), с учетом вышесказанного, раскрыть скобки, привести подобные, не забывая, что операция сложения проводится по модулю p (в данном примере по модулю два, так как в качестве основного поля выбрано GF(2)).

Резюме: Для нахождения минимального полинома для элемента из GF(p^m ) необходимо:

1. Построить расширение поля по модулю некоторого неприводимого над GF(p) полинома.

2. Построить циклотомический класс для элемента , учитывая то, что одинаковые элементы в классе учитываются только один раз и то, что степень элемента класса может превышать максимальную степень элементов расширения поля.

3. При помощи теоремы 2 записать разложение минимального полинома, используя в качестве корней элементы циклотомического класса.

4. Раскрыть скобки разложения, не приводя подобные.

5. Проверить, не превышает ли степень максимальную степень элементов GF(p^m ) (см. выше).

6. Заменить элементы на элементы поля.

7. Раскрыть скобки, привести подобные, учитывая тот факт, что суммирование ведется по модулю p.

Рассмотрим подробнее следствие 2 из теоремы 1:

Циклотомический класс для элемента : {1, 2, 4 ,8} для этих четырех элементов будут одинаковые минимальные полиномы.

Рассмотрим более подробно пример нахождения минимальных полиномов для GF(2⁴ ).

Построение GF(2⁴ ) рассмотрено выше, будем пользоваться готовым результатом.

Таблица 2. Представление GF(2⁴ ).

Начнем с элемента . Исходя из формулы 1, запишем множество сопряженных элементов:

Так как все элементы получились одинаковыми, то циклотомический класс будет состоять из одного элемента – {0}.

При помощи теоремы 2 запишем: m₀ (a⁰ ) = (x - a⁰ ), заменим a⁰ на элемент поля.