Контрольная работа: Построение порождающего полинома циклического кода по его корням (степеням корней)

Элемент.

Используя формулу 1, получим циклотомический класс. {1, 2, 4, 8}.

Используя теорему 2, запишем разложение минимального полинома.

Теперь заменим a на элементы поля, после раскрытия скобок и приведения подобных получим минимальный полином для элементов со степенями 1, 2, 4, 8.

Элемент .

Исходя из теоремы 1 и следствия из нее, для элемента минимальный полином будет равен полиному для элемента .

Элемент .

Используя формулу 1, запишем циклотомический класс: C = {3,6,12,24}, как видно элемент со степенью 24 отсутствует в представлении поля GF(2⁴ ). Если разделить на полином, по модулю которого производилось построение GF(2⁴ ), то получим остаток .

Используя теорему 2, запишем разложение минимального полинома:

m₃ (x) = (x – a³ ) (x – a⁶ ) (x – a⁹ ) (x – a¹² ).

Теперь, раскрыв скобки и приведя подобные, получим полином m₃ (x) = x⁴ + x³ + x² + x¹ +1.

Следовательно, это полином для элементов со степенями 3,6,12,9.

Элемент .

Минимальный полином этого элемента равен полиному элемента

Элемент.

Используя формулу 1, запишем циклотомический класс: C = {5,10,5,10}. Так как элементы класса совпали, то в классе останется два элемента C = {5,10}.

Используя теорему 2, запишем разложение минимального полинома:

m₅ (x) = (x – a⁵ ) (x – a¹⁰ ) = x² + x+1

Элемент.

Минимальный полином этого элемента равен полиному элемента

Элемент.

Используя формулу 1, запишем циклотомический класс: C = {7,14,28,56}. Так как , то C = {7,14,11,13}

Используя теорему 2, запишем разложение минимального полинома:

m₇ (x) = (x – a⁷ ) (x – a¹⁴ ) (x – a¹¹ ) (x – a¹³ ) = x⁴ + x³ +1

Нетрудно убедиться, что для остальных элементов минимальные полиномы уже найдены выше.

2. О циклических кодах и корнях порождающего полинома с точки зрения конечных полей

Следует отметить, что в данном разделе будет рассмотрено описание циклических кодов с точки зрения конечных полей только в рамках нахождения порождающего полинома. Наиболее понятное полное рассмотрение циклических кодов с точки зрения конечных полей можно найти в книге [2].

Теорема 3. Циклический код длины n с порождающим полиномом g(x) существует тогда и только тогда, когда g(x) делит .