Контрольная работа: Потрійний інтеграл
1. Поняття потрійного інтеграла. Умови його існування та властивості
Схема побудови потрійного інтеграла така сама, як і звичайного визначеного інтеграла та подвійного інтеграла.
Нехай функція визначена в обмеженій замкненій області
. Розіб'ємо область
сіткою поверхонь на
частин
, які не мають спільних внутрішніх точок і об'єми яких дорівнюють
. У кожній частині
візьмемо довільну точку
і утворимо суму
,(1)
яка називається інтегральною сумою для функції за областю
. Нехай
– найбільший з діаметрів областей
.
Якщо інтегральна сума (1) при має скінченну границю, яка не залежить ні від способу розбиття області
на частини
, ні від вибору в них точок
, то ця границя називається потрійним інтегралом і позначається одним із таких символів:
або
.
Таким чином, за означенням
,(2)
де – функція, інтегровна в області
;
– область інтегрування;
і
– змінні інтегрування;
(або
) – елемент об'єму.
Якщо по тілу розподілено масу з об'ємною густиною
в точці
, то маса
цього тіла знаходиться за формулою
.(3)
Формула (3) аналогічна формулі (1.8) і може розглядатися як механічний зміст потрійного інтеграла, коли підінтегральна функція невід'ємна в області . Якщо всюди в області покласти
, то з формули (2) випливає формула для обчислення об'єму
тіла
:
.(4)
Потрійний інтеграл є безпосереднім узагальненням подвійного інтеграла на тривимірний простір. Теорія потрійного інтеграла аналогічна теорії подвійного інтеграла, тому в більшості випадків ми обмежимося лише формулюваннями тверджень і короткими поясненнями.
Теорема (достатня умова інтегровності функції). Якщо функція неперервна в обмеженій замкненій області
, то вона в цій області інтегрована.
Властивості потрійних інтегралів.
1. Сталий множник можна винести за знак потрійного інтеграла:
.
Потрійний інтеграл від суми кількох інтегровних функцій дорівнює сумі потрійних інтегралів від доданків:
.
3. Якщо в області інтегрування , то
.
4. Якщо функції та
визначені в одній і тій самій області
і
, то
.
5. (Адитивність потрійного інтеграла.) Якщо область інтегрування функції
розбити на частини
і
, які не мають спільних внутрішніх точок, то
.
6. (Оцінка потрійного інтеграла.) Якщо функція неперервна в обмеженій замкненій області
, яка має об'єм
, то
,
--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--