Контрольная работа: Проблемы очередей

Для очередей с одним каналом обслуживания этот показатель эквивалентен коэффициенту загрузки.

Пример 5д.1. Количество клиентов в очереди

Банк Western National Bank рассматривает возможность открытия пункта обслуживания клиентов в автомобилях.

Управленческий персонал оценил, что клиенты будут прибывать с интенсивностью 15 автомобилей в час. Клерк, назначенный на эту работу, может обслуживать их со скоростью один автомобиль в каждые три минуты.

Часть 1. Исходя из распределения Пуассона входящих заявок и экспоненциального распределения времени обслуживания, определите следующие значения.

1. Загрузка клерка.

2. Среднее количество клиентов, ожидающих в очереди.

3. Среднее количество клиентов в системе.

4. Среднее время ожидания в очереди.

5. Среднее время ожидания в системе, включая время обслуживания.

Решение.

Часть 1

1. Средняя загрузка клерка будет

2. Среднее количество клиентов, ожидающих в очереди

3. Среднее количество клиентов в системе

4. Среднее время ожидания в очереди

5. Среднее время ожидания в системе

Часть 2. Из-за ограниченности площади, стремясь обеспечить приемлемый уровень обслуживания, банковский менеджер хочет добиться 95%-ной гарантии того, что очередь в системе не будет превышать трех автомобилей. Какая интенсивность обслуживания соответствует данному пределу? Какой уровень загрузки клерка следует обеспечить и какая должна быть интенсивность обслуживания этого служащего, чтобы добиться 95%-ного уровня обслуживания?

Решение. Часть 2

Текущий уровень обслуживания для трех или меньше автомобилей представляет собой вероятность того, что в системе находится 1, 2 или 3 машины. Выбираем из табл. 5.2 для модели 1 расчетную формулу

Это уравнение можно решить методом проб и ошибок, путем подстановки разных значений для λ/μ. Так, при λ/μ = 0,50 получаем 0,5(1+0,5+ 0,25 + 0,125) = 0,9375, т.е. меньше заданного значения 0,95. При λ/μ = 0,45 получим (1 - 0,45)(1 + 0,45 + 0,203 + 0,091) = = 0,96, т.е. больше заданного значения 0,95. При λ/μ = 0,47 находим (1 - 0,47)(1 + 0,47 + 0,221 + 0,104) = = 0,9512, что приблизительно равно 0,95.

Таким образом, именно при загрузке с = λ/μ = 47% вероятность образования в системе очереди, состоящей из трех и меньше машин, составляет 95%.

Чтобы узнать, какая интенсивность обслуживания необходима для достижения этого 95%-ного уровня обслуживания, следует просто решить уравнение λ/μ = 0,47, где λ= 15--- интенсивность прибывающих в течение часа клиентов. Это дает значение μ = 32 в час. Таким образом, чтобы иметь 95%-ную уверенность в том, что в системе не будет находиться больше трех автомобилей, банковский клерк должен обслуживать по 32 человека в час (заметьте, что для этого необходимо 60%-ное повышение скорости обслуживания по сравнению с имеющейся, равной всего 20 человек в час). Обслуживание можно ускорить, изменив методы предоставления услуг, добавив еще одного клерка либо ограничив количество банковских операций, доступных в системе обслуживания водителей в автомобилях. Обратите внимание также на то, что при условии 95%-ной уверенности в том, что в системе не будет собираться больше трех автомобилей, клерк будет простаивать 53% времени. Пример 5д.2. Выбор оборудования Компания Robot на франчайзинговой основе предоставляет для эк