Контрольная работа: Теорія систем та системний аналіз

Шкала, що задовольняє аксіомам 4' і 5', називається шкалою слабкого порядку. Приклад такої шкали — упорядкування за ступенем близькості з конкретною особою (мати = батько > син = дочка, дядько = тітка < брат = сестра тощо).

Інша ситуація виникає, коли є пари класів, непорівнянні між собою, тобто ні А ≥ В, ні В ≥ А. Тоді говорять про шкалу часткового порядку. Такі шкали часто виникають у соціологічних дослідженнях суб'єктивних переваг. Наприклад, у разі вивчення купівельного попиту суб'єкт часто не в змозі оцінити, який саме з двох різнорідних товарів йому більше подобається; людині може бути складно також упорядкувати за перевагою улюблені заняття (читання літератури, плавання, смачна їжа, слухання музики тощо).

Характерна риса порядкових (у строгому розумінні) шкал — те, що відношення порядку нічого не говорить про "дистанцію" між порівнюваними класами. Тому порядкові експериментальні дані, навіть зображені цифрами, не можна розглядати як числа. Над ними не можна виконувати дії, що дають різні результати в разі перетворення шкали, яке не порушує порядку. Наприклад, не можна обчислювати вибіркове середнє порядкових вимірів, тобто, тому що перехід до монотонне перетвореної шкали х' = f (х) у разі усереднення дає

.

Однак операція, що дає змогу виявити, яке з двох спостережень, х_г чи х_} , має перевагу, допустима. Уведемо індикатор невід'ємних чисел — функцію

Тоді якщо х _i > х_} і ми ввели цифрову шкалу порядку, то С(х _i —х_} ) = 1, а С(х_} — х _i ) = 0, що дає змогу виявити перевагу х _i перед х_} . Число

де п — кількість порівнюваних об'єктів (1≤ Ri ≤ 0), називається рангом i-го об'єкта. (Звідси походить інша назва порядкових шкал — рангові.) Якщо існує слабкий порядок, то частина спостережень збігається (у статистиці така група спостережень називається зв'язкою), і всі члени зв'язки одержують однаковий (старший для них) ранг. Коли це незручно, членам зв'язки присвоюють або ранг, середній для зв'язки (мідранг), або випадково — від молодшого до старшого.

Отже, у разі вимірювань у порядкових (у строгому розумінні) шкалах обробка даних має ґрунтуватися тільки на допустимих для цих шкал операціях — обчисленні δ _ij iR_i . Із цими числами можна працювати далі вже довільно: крім обчислення частот і мод (як і для номінальної шкали), з'являється можливість визначити вибіркову медіану (тобто спостереження з рангом R_i , найближчим до числа n/2); можна розбити всю вибірку на частини в будь-якій пропорції, обчислюючи вибіркові квантилі будь-якого рівня р, 0 < р < 1 (тобто спостереження з рангом R_i , найближчим до величини пр); можна визначити коефіцієнти рангової кореляції між двома серіями порядкових спостережень ( r_s Спірмена, τ Кендалла); будувати за допомогою отриманих величин інші статистичні процедури.

1.4 Модифіковані порядкові шкали

Досвід роботи з сильними шкалами та бажання зменшити відносність порядкових шкал, додати їм хоча б зовнішньої незалежності від вимірюваних величин спонукають дослідників до різних модифікацій, які дещо посилюють порядкові шкали. Іще одна важлива причина спроб посилити шкали полягає в тому, що багато вимірюваних у порядкових (принципово дискретних) шкалах величин мають дійсний або уявний неперервний характер: сила вітру чи землетрусу, твердість речовини, глибина та міцність знань, оволодіння навичками тощо. Сама можливість уведення між двома значеннями третьогосприяє тому, щоб намагатися підсилити шкалу.

Усе це зумовило появу та використання на практиці низки порядкових шкал, але не в такому строгому розумінні, як ті, про які йшлося вище. При цьому іноді з отриманими даними поводяться як із числами, що спричиняє помилки та неправильні рішення. Розглянемо деякі з відомих модифікацій.

Шкала твердості за Моосом. Із двох мінералів твердіший той, котрий залишає на іншому подряпини чи вм'ятини після досить сильного зіткнення. Відношення "А твердіше ніж 5" — типове відношення порядку. У 1811 р. німецький мінералог Ф. Моос запропонував запровадити стандартну шкалу для визначення відносної твердості методом дряпання. Як еталони взято 10 мінералів, розміщених у порядку висхідної твердості: 1 — тальк, 2 — гіпс, 3 — кальцит, 4 — флюорит, 5 — апатит, 6 — ортоклаз, 7 — кварц, 8 — топаз, 9 — корунд, 10 — алмаз.

Шкала сили вітру за Ботфортом. У 1806 р. Ф. Ботфорт запропонував умовну 12-бальну шкалу для оцінки сили вітру за його дією на наземні предмети та за хвилюванням моря: 0 — штиль(затишшя), 4 — помірний вітер, 6 — сильний вітер, 10 — буря (шторм), 12 балів — ураган.

Шкала магнітуд землетрусів за Ріхтером. Американський сейсмолог Ч. Ріхтер у 1935 р. запропонував класифікацію землетрусів за магнітудами, що базується на оцінці енергії сейсмічних хвиль, які виникають під час землетрусів, і разом із Б. Гуттенбергом теоретично обґрунтував її в 1941-1945 рр. Співвідношення між магні-тудою землетрусу за шкалою Ріхтера та його силою в епіцентрі за 12-бальною шкалою залежить від глибини поштовху.

Бальні шкали оцінки знань учнів. Потреба суспільства в офіційному визначенні ступеня кваліфікованості тих, хто вчиться, незалежно від того, де, коли та як вони здобувають освіту, сприяла запровадженню загальноприйнятих шкал оцінювання знань учнів у балах. Усі відчувають, зокрема й на власному досвіді, неточність, приблизність цієї шкали. Один із методів поліпшення шкали балів полягає в збільшенні кількості градацій. Однак і це не розв'язує проблеми, і викладачі неофіційно (для себе) уводять додаткові градації — додають до балів плюси, мінуси, крапки. Навіть застосовуючи100-бальну шкалу, деякі викладачі використовують дробові бали. Усе це відбувається тому, що не існує ні абсолютного взірця, єдиного для всіх людей, ні навіть умовного загальнодоступного стандарту на зразок еталонів твердості чи висоти хвиль, і знання можна оцінювати тільки в порядковій шкалі. Проте мало хто (не тільки з учнів, але й з викладачів) розуміє, що бальна шкала належить до класу порядкових. Доходить до того, що навіть в офіційних питаннях, що впливають на долі людей, підраховують середньоарифметичний бал — величину, що не має змісту в порядковій шкалі! Порядкова шкала Черчмена й Акоффа. У соціологічних дослідженнях часто виявляється корисним запропонувати опитуваному не тільки впорядкувати заданий перелік альтернатив, але й зазначити, хоча б грубо, силу переваги. Проілюструємо цей метод вимірювання на прикладі.

Нехай є чотири предмети. Спочатку опитуваний упорядковує їх за перевагою: А ≥ В ≥С ≥D ). Потім його просять поставити у відповідність (приписати) предметам будь-які числа між нулем і одиницею, грубо виразивши "силу" переваги. Нехай результат такий:

A	B	C	D
1.00	0.85	0.75	0.20

За допомогою подальших запитань намагаються отримати дійсну шкалу переваг опитуваного. Наприклад, виявляють, що для нього переважає — А чи В , С та D разом узяті. Результат потрібно відобразити у вагових коефіцієнтах. Роблять припущення, що ваговий коефіцієнт сукупності альтернатив дорівнює сумі їх вагових коефіцієнтів. Якщо, наприклад, А > В ∩ С ∩ D , приписують нові коефіцієнти:

A	B	C	D
1.00	0.65	0.20	0.10

Далі запитують, як можна впорядкувати В та С ∩ D . Якщо, на думку опитуваного, С ∩ D > В, то зменшують вагу В так, щоб вонабула меншою ніж сума ваг С та D :

A	B	C	D
1.00	0.25	0.20	0.10

Інші початкові ваги для тих самих запитань і відповідей можуть залишатися незмінними, якщо вони відразу відповідали зазначеним вимогам. Щоб зменшити кількість перебраних комбінацій під час уточнення шкали, автори методу пропонують приписувати найкращій альтернативі одиничну вагу, а інші групувати по три та діяти за описаною методикою.

Основний предмет критики порядкової шкали Черчмена й Акоффа — припущення про адитивність ваг переваги. У психології ця умова нерідко не виконується: опитуваний може оцінювати хліб із маслом інакше, ніж сумою ваг хліба та масла окремо.

1.5 Шкали інтервалів

Якщо можна впорядкувати об'єкти настільки точно, що відомі відстані між будь-якими двома з них, то вимірювання виявиться помітно сильнішим, ніж у шкалі порядку. Природно виражати всі відстані хоча й у довільних одиницях, але однакових уздовж усієї шкали. Це означає, що рівні інтервали вимірюють однаковими за довжиною відрізками шкали, хоч де вони розміщені. Наслідок такої рівномірності шкал цього класу — незалежність відношення двох інтервалів від того, у якій шкалі їх вимірювали (тобто яка одиниця довжини інтервалу та яке значення взято як початок відліку). Справді, якщо два інтервали в одній шкалі виражаються числами Δ₁ х і Δ₂ х, а за іншого вибору нуля й одиниці — числами Δ₁ у і Δ₂ у, то, оскільки це ті самі інтервали, маємо, звідки випливає, що введені шкали можуть мати довільні початки відліку й одиниці довжини, а зв'язок між показниками в них лінійний:

Це відношення можна виразити словами: "шкала інтервалів єдина з точністю до лінійних перетворень". Побудовані таким способом шкали називаються інтервальними.

Назва "шкала інтервалів" свідчить про те, що в цій шкалі тільки Інтервали мають зміст дійсних чисел і тільки над ними можна виконувати арифметичні операції: якщо виконати операції над самими відліками на шкалі, забувши про їх відносність, то можна одержати безглузді результати. Наприклад, якщо сказати, що температура води збільшилася вдвічі після її нагрівання від 9 до 18° за шкалою Цельсія, то для тих, хто звик користуватися шкалою Фаренгейта, це буде звучати дуже дивно, тому що в цій шкалі температура води в тому самому досліді змінилася від 37 до 42°.

Крім обчислення значення символу Кронекера та рангу спостереження єдина нова допустима операція над спостереженнями в інтер-вальній шкалі — визначення інтервалу між ними. Над інтервалами ж можна виконувати будь-які арифметичні операції, а також застосовувати всі придатні способи статистичної й іншої обробки даних.

Приклади величин, які за фізичною природою не мають абсолютного нуля чи допускають свободу вибору в установленні початку відліку й тому вимірюються в інтервальних шкалах, — температура, час, висота місцевості.

1.6 Шкали відношень

Нехай спостережувані величини задовольняють не тільки аксіомам 4 та 5, але й аксіомам адитивності:

якщо А = Р та В > 0, то А + В > Р;