Контрольная работа: Теорія споживання

Вступ

Математичні моделі й методи, що досліджуються в даній роботі, є необхідними для вивчення споживчого поводження на ринку готової продукції, переваг індивідуального споживача, корисності й класифікації товарів, еластичності й інших властивостей попиту.

1. Математичний вступ: опуклі множини

Множину називають опуклою, якщо разом з будь-якими двома своїми точками , , вона містить і всі точки вигляду , де .

Щоб пояснити геометричний зміст поняття опуклої множини, нагадаємо спосіб задання відрізка між двома точками , в - вимірному просторі. Параметричне рівняння прямої, що проходить через точки , , має вигляд , де – напрямний вектор прямої. При , при . Коли змінюється в межах від 0 до 1, точка пробігає весь відрізок між точками і

.

З геометричної точки зору множина є опуклою лише тоді, коли разом з будь-якими двома своїми точками ця множина містить і відрізок, який їх поєднує.

Для двовимірного простору прикладом опуклої множини є опуклий багатогранник. У просторі при опуклими множинами можуть бути куля, еліпсоїд, еліптичний параболоїд, циліндр і тощо.

Опуклу множину, всі границі якої лінійні, називають опуклою багатогранною множиною (опуклим багатогранником).

Розглянемо властивості опуклих множин:

1. Якщо – точки опуклої множини , то точка , де , також належить , де називають опуклою комбінацією точок . Це окремий випадок лінійної комбінації. Дану властивість приймаємо без доказу.

2. Множина опуклих комбінацій будь-якої заданої кількості комбінацій з є опуклою множиною. Доказ цієї властивості не наводимо.

3. Якщо і – опуклі множини, а точки і такі, що й , то весь відрізок знаходиться в обох множинах і , тобто перетинання опуклих множин є опуклим.

Розглянемо доказ. Нехай , де і – опуклі множини. Розглянемо дві довільні точки і множини . Оскільки , то . З опуклості множини випливає, що весь відрізок належить . Так само, . Але тоді . Доказ завершено.

4. Сума двох опуклих множин опукла.

Розглянемо доказ. Нехай , де . Тоді в і знайдуться такі елементи, що , , , . Припустимо тепер – довільне число, . Тоді

5. Основною властивістю, яка характеризує опуклі множини, є так звана властивість віддільності. Для пояснення цієї властивості розглянемо на площині замкнуту опуклу множину і точку . Тоді знайдеться така пряма , що множина і точка знаходяться по різні сторони від цієї прямої, тобто для будь-якої точки виконується нерівність , у той час, як .

2. Відношення переваги

Одним з основних елементів економічної теорії є споживач або група споживачів (домашнє господарство, родина). У споживача виникає задача раціонального ведення господарства (розподілу особистого бюджету). Отже, в даній задачі споживачеві необхідно з'ясувати, яку кількість кожного наявного товару або послуг він повинен придбати при заданих цінах і відомому доході . Будемо аналізувати поводження споживача й у підсумку сформулюємо оптимізаційну математичну модель поводження споживача на ринку товарів і послуг.

Під товаром або послугою розумітимемо деяке благо, що надійшло в продаж у певний час в певному місці. Припустимо, існує кінцева кількість наявних товарів , кількість кожного з них характеризується набором товарів , де – кількість -го товару (), придбана споживачем.

Простором товарів назвемо невід’ємний ортант -вимірного простору, кожна точка є певним набором товарів. Нехай – множина, на якій визначені інтереси споживача. –множина всіх уявних наборів товарів, доступних споживачеві й придатних для нього.

Будь-які два вектори споживач може порівнювати та обирати з них. Цей вибір залежить від бюджету споживача, цін на товари і його смаку. Отже, вибір характеризується відношенням переваги, що записується знаком і читається як «переважніший або рівноцінний за». Запис , де й є наборами товарів з означає, що споживач віддає перевагу набору по відношенню до набора . виконується тільки, якщо і відношення не є справедливим.

Запис означає, що набори товарів й для споживача рівнозначні (еквівалентні, байдужні).

Розглянемо аксіоми відношення переваги:

1. Транзитивність: якщо є три набори , й і відомо, що , то .

2. Ненасиченість: якщо й такі, що і , то . Ця аксіома стверджує, що точки насичення споживача не існує, більший набір товарів завжди є переважнішим за менший.

3. Опуклість: для будь-яких й таких, що і маємо або для всіх . Ця вимога забезпечує строгу опуклість множини комбінацій наборів, не менш переважніших за даний.

3. Функція корисності споживання

--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--