Контрольная работа: Теорія споживання

, тільки якщо ;

, тільки якщо .

Функцію називають функцією корисності або порядковою функцією корисності.

Дамо геометричну інтерпретацію функції корисності. Для цього розглянемо будь-який промінь у просторі товарів, що проходить через початок координат. Приймемо як корисність будь-якого товару відстань від початку до точки на промені, що належить тій самій множині байдужності, що й розглянутий набір. Як правило, якщо така функція корисності існує, то вона не єдина.

Наприклад, за можна взяти будь-яку монотонну чітко зростаючу функцію. Якщо – функція корисності, то також буде функцією корисності, де – довільна монотонно зростаюча функція, тобто .

На рис. 1 кожній точці площини, що відноситься до різних комбінацій наборів товарів і , відповідають точки поверхні , які відображають рівні корисності цих товарів.

Рисунок 1

Для кожного товарного набору можна вказати множину таких наборів, яка за перевагою еквівалентна даному. Ця множина називається кривою байдужності, що проходить через . Кожній кривій байдужності можна поставити у відповідність певний рівень корисності, оскільки корисність будь-яких двох наборів, що знаходяться на одній і тій самій кривій, однакова. Математичним аналогом кривої байдужності є лінія рівня.

Вважатимемо диференційованою, тоді аксіома ненасичення вимагає, щоб всі перші часткові похідні функції корисності, які звуться граничними корисностями, були додатними

.

Відповідно до аксіоми 3 (опуклості множини простору товарів) вимагатимемо, щоб функція була строго увігнутою функцією й отже, має бути двічі диференційованою і мати безперервні другі часткові похідні, тобто матриця Гессе, що складається з других часткових похідних, повинна бути вiд’ємно визначеною

.

Зокрема , означає, що корисність товару зменшується в міру того, як продукт споживається. Це допущення одержало назву закону Госена.

З властивості опуклості відношення переваги випливає, що криві байдужності опуклі відносно початку координат.

Найважливішою характеристикою кривої байдужності є її нахил. Абсолютне значення нахилу на різних відрізках кривої виражає норму заміни благ. Тому криву байдужності можна назвати кривою взаємозамінності благ.

Розглянемо рис. 2. На відрізку АВ норма заміни блага 1 благом 2 за визначенням дорівнює , а на відрізку CD – . Норма заміни одного блага іншим безпосередньо пов'язана з їх граничними корисностями. Під час руху по кривій байдужності вправо вниз на здобуваємо приблизно одиниць корисності зі збільшенням споживання блага 1 й одночасно втрачаємо одиниць корисності зі зменшенням споживання блага 2. Оскільки виграш і втрата взаємно компенсуються (ми перебуваємо на одній і тій самий кривій байдужності), то при досить малих і можна записати .

Рисунок 2

Розділивши отриману рівність на , знайдемо

,

тобто нахил кривої

.

Переходячи до нескінченно малих приростів, одержимо строгу рівність. Отже, гранична норма заміни двох благ дорівнює зворотному відношенню їх граничних корисностей. Геометрично гранична норма заміни характеризує нахил кривої байдужності в точці.

Гранична норма заміни на кривих байдужності є спадною функцією, тобто зі зростанням споживання одного продукту для його заміни потрібно все менша кількість іншого. Як видно з рис. 1.2, .

4. Оптимізаційна математична модель поведінки споживача на ринку товарів і послуг

Задача споживача полягає у виборі набору товарів і послуг при заданій функції корисності й бюджетному обмеженні, що відносить споживача до деякої підмножини простору товарів.

Введемо поняття бюджетної лінії або лінії цін. Така лінія визначається як геометричне місце точок всіх комбінацій товарів, вартість яких дорівнює певній сумі . Вона характеризує реальну купівельну спроможність споживача й співвідношення цін цих товарів. Наприклад, у випадку двох товарів, при постійних цінах – це пряма , де – ціни, а – доход (рис. 3).