Контрольная работа: Универсальная тригонометрическая подстановка

Данная замена позволяет в два раза понизить степень тригонометрических функций. Раскрывая скобки в интеграле , получаем снова случаи 5 или 6.

7. Пусть дан , где и – четные и хотя бы одно из этих чисел отрицательно. Тогда удобна та же замена, что и в случае 4.

8. В случае используется тригонометрическая формула

и интеграл превращается в два табличных интеграла.

9. В случае используется тригонометрическая формула

.

10. В случае используется тригонометрическая формула

.

3. Тригонометрические подстановки для интегралов вида

Рассмотрим тригонометрические подстановки для вычисления таких интегралов, которые сводят подынтегральную функцию к функции, рационально зависящей от и . Вначале выполняется выделение полного квадрата в трёхчлене (и соответствующей линейной замены переменной), в результате этого интеграл сводится, в зависимости от знаков и дискриминанта трёхчлена, к интегралу одного из следующих трёх видов:

, , .

Следующий шаг:

1) рационализируется подстановкой x = a sin t (или x = a cos t ). Замена переменной в неопределённом интеграле.

2) рационализируется подстановкой (или , или ).

3) рационализируется подстановкой x = a tg t (или x = a ctg t , или x = a sh t ).

Пример 1. . Интеграл вида , из возможных подстановок наиболее удобной оказывается x = ctg t .

,

поэтому

или

.

Пример 2.

3. Интегрирование некоторых алгебраических иррациональностей

Рассмотрим теперь интегрирование функций, содержащих радикалы. Не от всякой иррациональной функции интеграл выражается через элементарные функции. Однако в наиболее простых случаях, когда над радикалами выполняются рациональные действия, это удается сделать. Необходимо отметить, что все такие иррациональные функции интегрируются посредством их рационализации, то есть избавления от корней.