Контрольная работа: Универсальная тригонометрическая подстановка

1. Универсальная тригонометрическая подстановка

Рассмотрим интегрирование выражений полностью зависящих от тригонометрических функций, над которыми выполняются лишь арифметические операции. Такие выражения называются рациональными функциями от тригонометрических функций и в данном случае обозначаются . Например,

, , .

В то же время функция рациональной не является.

Теорема . Интеграл вида с помощью подстановки преобразуется в интеграл от рациональной дроби .

Для доказательства выразим , и через :

;

;

.

В результате проведенных преобразований , и превратились в рациональные дроби от . Подставляя их в исходный интеграл, получаем:

.

В данном выражении рациональные дроби подставлены в рациональную функцию. Так как над ними выполняются лишь арифметические операции, то в результате получается также рациональная дробь. Итак, рациональную функцию от тригонометрических функций можно проинтегрировать, превратив ее в рациональную дробь.

Подстановка

, , ,

называется универсальной тригонометрической подстановкой.

2. Частные случаи интегрирования выражений, содержащих тригонометрические функции

Рассмотренная в п. 11 универсальная тригонометрическая подстановка позволяет вычислить любой интеграл от функции вида . Однако на практике она часто приводит к слишком сложным рациональным функциям, интегрирование которых представляет значительную трудность. Есть целый ряд интегралов от тригонометрических функций, которые можно вычислить значительно проще.

1. Интегралы типа удобно вычислять с помощью подстановки . Тогда и получаем простой интеграл .

2. Интегралы типа удобно вычислять с помощью подстановки . Тогда и интеграл приводится к виду .

3. Если подынтегральная функция зависит только от (), то удобна замена . В этом случае и . В результате получаем .

4. Если подынтегральная функция является рациональной относительно четных степеней и , то есть , то в этом случае также удобна замена . При этом:

;

;

.

Данная подстановка в этом случае дает более простую рациональную дробь, чем с использованием универсальной тригонометрической подстановки.

Пусть дан интеграл , где и при этом хотя бы одно из этих чисел нечетное. Допустим, что . Тогда

.

Далее делается замена , и получаем .

6. Пусть дан интеграл , где и неотрицательные и четные. Положим, что , . Тогда

--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--