Контрольная работа: Выборочная ковариация

(w-w)

_ _

(x-x)(w-w)

1 -883 -75 66250 -50 44167 -25 22083 2 -1383 -325 449583 -200 276667 -125 172917 3 117 25 2917 50 5833 -25 -2917 4 2117 425 899583 200 529167 175 370416 5 -583 -175 102083 -100 58333 -75 43750 6 617 125 77083 50 30833 75 46250 Сумма: 1597500 945000 652500 Среднее: 266250 157500 108750

Демонстрация правила 2

В таблице 1.3 последняя колонка (z) дает расходы на питание и одежду для второго множества из 6 семей. Каждое наблюдение z фактически представляет собой удвоенное значение y. Предполагается, что значения величины x для второго набора семей являются такими же, как и ранее. Для вычисления Cov(x,z) необходимы значения (x-x_средн. ), а также (z-z_средн. )

Таблица 1.5

Семья	(x-x)	(z-z)	(x-x)(z-z)
1	-883	-150	132500
2	-1383	-650	899167
3	117	50	5833
4	2117	850	1700167
5	-583	-350	204167
6	617	250	154167
Сумма:	3195000
Среднее:	532500

Из таблицы 1.5 можно видеть, что Cov(x,z) равна 532500, что в точности равно удвоенной Cov(x,y).

Демонстрация правила 3

Допустим, что каждая семья в выборке имеет по два взрослых человека, и предположим, что по недоразумению мы решили вычислить ковариацию между общим доходом (x) и числом взрослых в семье (a). Естественно, что a₁ =a₂ =…=a₆ =2. Таким образом, a_{средн .} = 2. Отсюда для каждой семьи (a-a_средн. ) = 0 и, следовательно, (x-x_средн. )(a-a_средн. ) = 0. Поэтому Cov(x,a) = 0.

Теоретическая ковариация

Если x и y – случайные величины, теоретическая ковариация s_xy определяется как математическое ожидание произведения отклонений величин от их средних значений:

pop.cov(x,y) =_xy = E{(x)(y-_y )}

Если теоретическая ковариация неизвестна, то для ее оценки может использована выборочная ковариация, вычисленная по ряду наблюдений. К сожалению такая оценка ,будет иметь отрицательное смещение.

Если x и y независимы, то их теоретическая ковариация равна нулю, поскольку:

E{(x_x )(y_y )} = E(x_x )(y_y ) = 0*0

Выборочная дисперсия.

Для выборки из n наблюдений x₁ ,…,x_n выборочная дисперсия определяется как среднеквадратичное отклонение в выбоке:

Var(x) = 1/nS(x-x)²

Замечание. Определеннаятаким образом выборочная дисперсия представляет собой смещенную оценку теоретической дисперсии s² , которая определяется как:

1/(n-1)S(x-x)² , является несмещенной оценкой s² . Отсюда следует, что ожидаемое значение величины Var(x) равно [(n-1)/n]s² и, следовательно, она имеет отрицательное смещение. Отметим, что если размер выборки n становится большим, то (n-1)/n стремится к единице и, таким образом, математическое ожидание величины Var(x) стремится к s² .

Правила расчета дисперсии.

· Правило 1

Если y = v+w, то Var(y) = Var(v)+Var(w)+2Cov(v,w)

· Правило 2

Если y = az, где a является постоянной, то Var(y) = a² Var(z)

· Правило 3

Если y = a, где a является постоянной, то Var(y) = 0

· Правило 4

Если y = v+a, где a является постоянной, то Var(y) = Var(v)

Следует заметить, что дисперсия переменной x может рассматриваться как ковариация между двумя величинами x: