Контрольная работа: Взаимозаменяемость продовольственных продуктов масла животного и масла растительного. Их потреб

Оценим статистическую значимость полученных коэффициентов регрессии а₀ и а₁ , коэффициента корреляции r _ух с помощью t -критерия Стьюдента на уровне значимости d=0,05.

Эта проверка проводится по единой схеме, с помощью гипотез.

Выдвигается нулевая гипотеза Н₀ о случайной природе полученного коэффициента, о незначимом его отличии от нуля, то есть гипотеза Н₀ состоит в том, что коэффициент =0. Альтернативная ей гипотеза Н₁ состоит в том, что неслучайно, то есть полученный коэффициент статистически значим. Чтобы опровергнуть гипотезу Н₀ и подтвердить гипотезу Н₁ должно выполняться неравенство на уровне значимости и с (n – 2) степенями свободы, где n – количество наблюдений, уровень значимости – вероятность совершить ошибку, отвергнув гипотезу Н₀ , когда она верна.

Для а₁ : Н₀ : а₁ =0, Н₁ : .

Рассчитаем стандартную ошибку коэффициента регрессии а₁ – .

Потребуется сделать промежуточные вычисления: подставляя фактические значения х _i в уравнение регрессии найдем смоделированные значения , затем вычислим разность между фактическими и смоделированными значениями, т.е. остатки , затем возведём остатки в квадрат е _i ² и просуммируем; результаты представлены в расчетной таблице. Теперь подставим необходимые данные в формулу для расчёта : иt -статистики по модулю: .

Затем сравним наблюдаемое значение с табличным значением t -критерия Стьюдента. Табличное значение по таблице распределения Стьюдента на уровне значимости d=0,05 с n – 2=55-2=53степенями свободы: t _табл =2,01. Наблюдаемое значение t -статистики превышает табличное значение t -критерия: 22 > 2,01, то есть выполнено неравенство , а значит, гипотеза Н₀ о случайной природе полученного коэффициента отвергается и принимается альтернативная ей гипотеза Н₁ , свидетельствующая в 95% случаев остатистической значимости полученного коэффициента регрессии а₁ . Т.о., можно считать, что взаимозаменяемость товаров подтвердилась и статистически установлена.

Для а₀ : Н₀ : а₀ =0, Н₁ : .

Рассчитаем стандартную ошибку коэффициента регрессии а₀ – . Все необходимые цифры уже имеются в расчетной таблице, подставим эти данные в формулу: , а затем рассчитаем t -статистику по модулю: .

Сравнивая рассчитанное значение с табличным значением t -критерия Стьюдента на уровне значимости d=0,05 с n – 2=55-2=53степенями свободы: t _табл =2,01,где 2<t_{a 0} < 3 (t _{табл >} t_{a 0} ) можно сделать вывод, что коэффициент регрессии а₀ можно признать статистически значимым в 90% случаев.

Для r _ух : Н₀ : r _ух =0, Н₁ : .

Для этого рассчитаем стандартную ошибку коэффициента корреляции r _ух – : иt -статистику по модулю: .

Сравнивая рассчитанное значение с табличным значением t -критерия Стьюдента на уровне значимости d=0,05 с n – 2=55-2=53степенями свободы: t _табл =2,01, можно сделать вывод остатистической значимости полученного коэффициента корреляции r _ух в 95% случаев, предполагаемая взаимозаменяемость товаров подтвердилась.

Проверим правильность вычислений: , действительно 22»22,7.

Доверительные интервалы для параметров регрессионной модели a ₀ и a ₁

Доверительный интервал для a ₀ с надежностью g=1-d: . Выбрав уровень значимости d=0,05, получаем надежность g=0,95. Все необходимые цифровые значения уже рассчитаны ранее, тогда , откуда получаем (0,4312; 12,813).ыберемрительной вероятностью ров регрессионной модели

Доверительный интервал для a ₁ с надежностью g=1-d: . При выбранной надежности g=0,95: , откуда (0,32; 0,384).

Таким образом, с надежностью 95% можно утверждать, что истинное значение параметра a ₀ будет заключено в пределах от 0,4312 до 12,813, а истинное значение параметра a ₁ - в границах от 0,32 до 0,384.

Следует отметить, что доверительные интервалы узкие, т.к. значения стандартных ошибок и малы. А это подтверждает, что другие факторы оказывают несущественное влияние на покупательскую способность товаров. Основным фактором является выбранный фактор Х – замена растительным маслом. Значит, точность модели будет вполне приемлемой.

Оценка качества уравнения регрессии в целом

F -критерий Фишера

Выдвигается нулевая гипотеза Н₀ о статистической незначимости уравнения регрессии. Альтернативная ей гипотеза Н₁ о статистической значимости. Чтобы опровергнуть гипотезу Н₀ и подтвердить гипотезу Н₁ должно выполняться неравенство .

Рассчитаем наблюдаемое значение F-критерия (воспользуемся свойством для линейной парной регрессии): .

Табличное значение по таблице распределения Фишера на уровне значимости d=0,05 с k ₁ =1 и k ₂ =n – 2=23-2=21степенями свободы: F _табл =4,03. Наблюдаемое значение F –критерия превышает табличное: 510,83 > 4,03, то есть выполнено неравенство , а значит, гипотеза Н₀ о случайной природе полученного уравнения регрессии отклоняется в пользу гипотезы Н₁ , свидетельствующей в 95% случаев оего статистической значимости и взаимозаменяемости товаров. Уравнение по данным выборки можно признать надежным и значимым, доказывающим наличие исследуемой зависимости.

Оценка аппроксимации модели

Потребуется сделать промежуточные вычисления: остатки е _i разделим на фактические значения у _i , полученные частные от этих делений возьмем по модулю и просуммируем; результаты представлены в расчетной таблице.

Средние ошибки аппроксимации: , . Ошибки почти совпадают и равны »25%.

В среднем смоделированные значения взаимозаменяемость животного масла отклоняются от фактических на 9-12%. Подбор модели к фактическим данным можно оценить как не точный, так как средняя ошибка аппроксимации превышает 20%.

Но, учитывая высокое качество модели и сильную линейную зависимость между Y (потребление животного масла) и Х (потребление растительного масла), эту модель можно использовать для прогнозирования с осторожностью.