Контрольная работа: Застосування методу Монте-Карло для кратних інтегралів

Випадкова величина Х розподілена нормально, причому її середнє квадратичне відхилення d невідоме.

В цьому випадку з імовірністю g верхня границя похибки

, (**)

де n – число випробувань; s – «виправлене» середнє квадратичне відхилення, знаходять по таблиці.

Випадкова величина Х розподілена по закону, який відрізняється від нормального. В цьому випадку при достатньо великому числі випробовувань (n>30) з вірністю, приблизно рівній g, верхня границя похибки може бути обчислена по формулі (*), якщо середнє квадратичне відхилення s випадкової величини Х відоме; якщо ж s невідоме, то можна підставити у формулу (*) його оцінку s – «виправлене» середнє квадратичне відхилення або скористатися формулою (**). Відзначимо, що чим більше n, тим менше розходження між результатами, що дають обидві формули. Це пояснюється тим, що при розподіл Стьюдента прямує до нормального.

З викладеного вище матеріалу випливає, що метод Монте-Карло тісно пов'язаний із задачами теорії ймовірностей, математичної статистики й обчислювальної математики. У зв'язку з задачею моделювання випадкових величин (особливо рівномірно розподілених) істотну роль відіграють також методи теорії чисел.

Серед інших обчислювальних методів, метод Монте-Карло виділяється своєю простотою і загальністю. Повільна збіжність є істотним недоліком методу, однак, можуть бути зазначені його модифікації, які забезпечують високий порядок збіжності при певних припущеннях. Правда, процедура обчислення при цьому ускладнюється і наближається по своїй складності до інших процедур обчислювальної математики. Збіжність методу Монте-Карло є збіжністю по імовірності. Цю обставину навряд чи варто відносити до числа його недоліків, тому що імовірні методи в достатній мірі виправдовують себе в практичних застосуваннях. Що ж стосується задач, що мають імовірний опис, то збіжність по імовірності є навіть якоюсь мірою природною при їхньому дослідженні.

2. Обчислення кратних інтегралів методом Монте-Карло

Нехай функція неперервна в обмеженій замкнутій області S і потрібно обчислити m-кратний інтеграл

. (1)

Геометрично число I являє собою (m+1)- мірний об’єм прямого циліндроїда в просторі , побудованого на основі S і обмеженого зверху даною поверхнею

, де .

Перетворимо інтеграл (1) так, щоб нова область інтегрування повністю містилась усередині одиничного m-мірного куба. Нехай область S розміщена в m-мірному паралелепіпеді

. (2)

Зробимо заміну змінних

. (3)

Тоді, очевидно, m-мірний паралелепіпед (2) перетвориться в m-мірний одиничний куб (4)

а, отже, нова область інтегрування σ, яка знаходиться за звичайними правилами, буде повністю розташована усередині цього куба.

Обчислюючи якобіан перетворення, будемо мати:

.

Таким чином, , (5)

де . Увівши позначення і , запишемо інтеграл (5) коротше в наступному виді: . (5^/ )

Укажемо спосіб обчислення інтеграла (5^/ ) методом випадкових випробувань.

Вибираємо m рівномірно розподілених на відрізку [0, 1] послідовностей випадкових чисел:

Точки можна розглядати як випадкові. Вибравши досить велике N число точок , перевіряємо, які з них належать області σ (перша категорія) і які не належать їй (друга категорія). Нехай

1. при i=1, 2, …, n (6)

2. при i=n+1, n+2, …,N (6^/ ) (для зручності ми тут змінюємо нумерацію точок).

Зазначимо, що відносно границі Г області σ варто заздалегідь домовитися, чи зараховуються граничні точки або частина їх до області σ, чи не зараховуються до неї. У загальному випадку при гладкій границі Г це не має істотного значення в окремих випадках потрібно вирішувати питання з урахуванням конкретної ситуації.