Контрольная работа: Застосування методу Монте-Карло для кратних інтегралів

де під σ розуміється m-мірний об’єм області інтегрування σ. Якщо обчислити σ важко, то можна прийняти: , звідси . В окремому випадку, коли σ є одиничний куб, перевірка стає зайвою, тобто n=N і ми маємо просто

.

2.1 Принцип роботи методу Монте–Карло

Датою народження методу Монте-Карло визнано вважати 1949 рік, коли американські учені Н. Метрополіс і С. Услам опублікували статтю під назвою «Метод Монте-Карло», в якій були викладені принципи цього методу. Назва методу походить від назви міста Монте–Карло, що славився своїми гральними закладами, неодмінним атрибутом яких була рулетка – один з простих засобів здобуття випадкових чисел з хорошим рівномірним розподілом, на використанні яких заснований цей метод. Метод Монте–Карло - це статистичний метод. Його використовують при обчисленні складних інтегралів, вирішенні систем рівнянь алгебри високого порядку, моделюванні поведінки елементарних часток, в теоріях передачі інформації, при дослідженні складних економічних систем. Суть методу полягає в тому, що в завдання вводять випадкову величину , що змінюється по якому те правилу . Випадкову величину вибирають так, щоб шукана в завданні величина стала математичною чекання від , тобто .

Таким чином, шукана величина визначається лише теоретично. Щоб знайти її чисельно необхідно скористатися статистичними методами. Тобто необхідно узяти вибірку випадкових чисел об'ємом . Потім необхідно обчислити вибіркове середнє варіанту випадкової величини по формулі:

. (1)

Обчислене вибіркове середнє приймають за наближене значення

.

Для здобуття результату прийнятної точності необхідна велика кількість статистичних випробувань. Теорія методу Монте-Карло вивчає способи вибору випадкових величин для вирішення різних завдань, а також способи зменшення дисперсії випадкових величин.

3. Програма обчислення кратного інтеграла методом Монте-Карло

Обчислити певний інтеграл . за методом “Монте-Карло” по формулі

,

де n – число випробувань ;g(x) – щільність розподілу.

3.1 Програма складена на мові програмування TURBO PASCAL 7.0

program MonteCarlo;

uses

crt;

const k=100;

Var a,b,c,d,ng,vg,x,y,s,integral : real;

n,i,j : integer;

integr:array[1..k]of real;

Function f(x,y:real):real;

Begin

f:=Sqrt(x+y);

end;

Function nm(x:real):real;

Begin

nm:=3*x;