Контрольная работа: Застосування подвійних інтегралів
Рисунок 1 - Область: а ) ; б)
подвійний інтеграл полярна координата
Якщо область охоплює початок координат, тобто точка
є внутрішньою точкою області
, то
(6)
де - полярне рівняння межі області
.
Приклади
1. Обчислити інтеграл , якщо область
- паралелограм,
обмежений прямими (рис.1, а ).
Розв’язання
Безпосереднє обчислення цього інтеграла надто громіздке, тому що як в напрямі осі так і в напрямі осі
область
потрібно спочатку розбити на три області, а потім обчислювати три подвійних інтеграли.
Виконаємо таку заміну змінних: , тоді прямі
та
в системі
переходять в прямі
та
у системі
(рис.1, б), а прямі
та
відповідно в прямі
та
.
Таким чином, область (паралелограм) переходить у системі
в прямокутник
.
Рисунок 2 - Область: а ) ; б)
Далі маємо
За формулою (3)
2. У подвійному інтегралі , де
- круг, обмежений колом
, перейти до полярних координат з полюсом в точці
, і обчислити отриманий інтеграл.
Розв’язання
Область зображена на рис.2.
Рівняння, які пов’язують і полярні координати
з полюсом у точці
, мають вигляд
, причому видно, що кут
змінюється в межах від
до
.
Рисунок 3 - Область
Підставивши вирази для і
в рівняння кола, отримаємо
, звідки
або
. Ці дві криві на площині
при
обмежують область
, яка є прообразом області
при відображенні. Якобіан
відображення дорівнює
. Підінтегральна функція
у нових змінних дорівнює
. За формулою (3) маємо
.
Одержаний подвійний інтеграл за областю зводимо до повторного: