Курсовая работа: Аффинные преобразования на плоскости

Выполнила студентка 110 гр.
физико-математического ф-та
Пельтек Е.С.

Руководитель: Малютина Н.Н.

Тирасполь,2008г.

Оглавление:

1.

Введение.

A ФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ НА ПЛОСКОСТИ.

1.Определение аффинных преобразований.

Пусть в плоскости задана произвольная аффинная система координат Ое₁ е_2. Если, наряду с этой («старой», или «исход­ной») системой координат, задать также совершенно произвольную «новую» аффинную координатную систему Ое₁ е_2., то определится преобразование, состоящее в том, что каждой точке М плоскости ставится в соот­ветствие точка М', которая в новой координатной системе имеет те самые координаты, какие точка М имела в старой системе. Преобразование, которое может быть задано этим способом, называется аффинным.

Замечание 1. Если исходный репер считать раз навсегда данным, то возможные аффинные преобразования плоскости взаимно однозначно соответствуют различным реперам Ое₁ е_2. , которые можно выбрать на плоскости (соответ­ственно в пространстве). Тем из этих реперов, которые одноименны с исходным, соответствуют аффинные преобразования, называемые собственными; реперы, не одноименные с исходным репером, опреде­ляют несобственные аффинные преобразования.

Замечание 2. Совершенно так же, как мы определяли аффин­ное преобразование плоскости (т. е. аффинное взаимно однозначное отображение плоскости на себя), мы можем определить взаимнооднозначное аффинное отображение одной плоскости π на другую плоскость π’: для того чтобы задать такое отображение, надо взять два репера: репер Ое₁ е₂ в плоскости π и репер Ое₁ е₂ в плоскости π '.

Определяемое этими данными отображение — аффинное отображе­ние плоскости π на плоскость π '- состоит в том, что каждой точке М плоскости π ставится в соответствие та точка М' плоскости π ', которая относительно репера Ое₁ е₂ имеет те же самые координаты, которые точки М имели относительно репера Ое₁ е_2.

2.Преобразование векторов при аффинном преобразовании плоскости и пространства. Основные свойства аффинных преобразований.

Возьмем на плоскости какой-нибудь вектор М₀ М₁ . При аффинном преобразовании точки М₀ , М₁ переходят соответственно в точки М₀ ', М₁ ′, имеющие относительно нового репера те же координаты, которые точки М₀ , М₁ имели относительно старого. Так как координаты вектора получаются вычитанием координат его начальной точки из координат его конца, то координаты вектора М₀ М₁ относительно нового репера те же, что и координаты вектора М₀ М₁ относительно старого репера. Итак:

1.При аффинном преоб­разовании вектору u= М₀ М₁ ставится в соответствие век­тор и' = М'₀ М₁ ′, имеющий от­носительно нового репера те же координаты, которые вектор uимел относитель­но старого.

Отсюда сразу следует, что при аффинном преобра­зовании равным векторам соответствуют равные, так что:

2. Аффинное преобразование плоскости порождает взаимно однозначное отображение на себя (преобразование) много­образия V всех свободных векторов плоскости.

Это преобразование обладает следующим свойством линейности: если при данном преобразовании векторам u, vсоответствуют векторы u', v', то вектору и u+vбудет соответствовать вектор u'+v', а век­тору λu- вектор λu'

Из свойства линейности вытекает, далее:

3.Еcли при данном аффинном преобразовании векторам u₁ ,…,u′_n соответствуют векторы u′₁ , . . ., u'_n , то всякой линейной комбинации λ₁ u₁ +λ₂ u₂ +…+λ_n u_n векторов u₁ ,…,u_n соответствует линейная комбинация

λ₁ u′₁ +λ₂ u′₂ +…+λ_n u′_n

векторов u'₁ , ... , u'_n (с теми же коэффициентами λ₁ , λ₂ , ... ,λ_n ).

Так как при аффинном преобразовании нулевому вектору, очевидно, соответствует нулевой, то из доказанного следует:

4. При аффинном преобразовании линейная зависимость векторов сохраняется (и, значит, всякие два коллинеарных вектора переходят в коллинеарные)

5. Обратное преобразование к аффинному преобразованию есть аффинное преобразование.

В самом деле, если данное аффинное преобразование Аплоскости задается переходом от репера Ое₁ е₂ к реперу О′е₁ ′е₂ ′, то аффинное преобразование, задаваемое переходом от репера О′е₁ ′е₂ ′, к реперу Ое₁ е₂ , есть как легко видеть преобразование, обратное данному преобразованию А .

Мы видели, что при аффинном преобразовании линейная зависи­мость векторов сохраняется. Сохраняется и линейная независимость векторов:

6. При аффинном преобразовании А всякая линейно независимая

система векторов u₁ , u₂ ,… переходит в линейно независимую – в противном случае при аффинном преобразовании А^-1 обратном к А , линейно зависимая система u₁ ′, u₂ ′,… перешла бы в линейно неза­висимую, что, как мы знаем, невозможно.

Так как репер есть система линейно независимых векторов приложенных к данной точке О, то при аффинном преобразовании всякий репер переходит в репер. Более того, имеет место предложение

7. При аффинном отображении (заданном переходом от репера Iреперу I′) всякий репер II переходит в репер II' и всякая точка М (всякий вектор u) переходит в точку М' (в вектор u') с теми же координатами относительно репера II', какие точка М и вектор uимели относительно репера II.

Доказательство. Пусть II есть репер Оε₁ ε_2, а II' — репер О′ε₁ ′ε₂ ′.Докажем сначала утверждение, касающееся векторов. Если вектор uимеет относительно репераОε₁ ε₂ координаты ξ,η,то u=ξ ε₁ ′+η ε₂ ′. Но тогда образ вектораи есть, по свойству 3, вектор

u′= ξ ε₁ ′+η ε₂ ′,

имеющийкоординаты ξ, η относительно репера О′ε₁ ′ε₂ ′. Пусть точка М имеет координаты ξ, η относительно репера Оε₁ ε₂ .Тогда oM= ξ ε₁ +η ε₂ , так что, по предыдущему, относительно репера О′ε₁ ′ε₂ ′ вектор о'М', а значит, и точка М' имеют координаты ξ, η. Утвер­ждение доказано.

Доказанное утверждение является существенным: из него сле­дует, что, задав аффинное преобразование переходом от какого-нибудь репера Oe₁ e₂ к реперу О′ε₁ ′ε₂ ′, мы можем задать его, взяв в качестве исходного любой репер Оε₁ ε₂ и указав тот репер О′ε₁ ′ε₂ ′, в который он должен перейти.

В качестве приложения только что сделанного замечания дока­жем, что произведение двух аффинных преобразований А₁ и А₂ есть аффинное преобразование.

В самом деле, пусть аффинное преобразование А ₁ задается переходом от репера I к реперу II. Аффинное преобразование А ₂ мы можем, по только что доказанному, задать переходом от репера II к какому-то реперу III. Тогда аффинное преобразование, зада­ваемое переходом от репера I к реперу III, есть, очевидно, произ­ведение А₂ А₁ преобразования А₁ на преобразование А₂ .

--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--