Курсовая работа: Аффинные преобразования на плоскости

лежат на одной прямой), когда векторы М₁ М₂ и М₂ М₃ коллинеарны. А так как коллинеарность векторов при аффинном преобразовании сохраняется, то сохраняется и коллинеарность точек. Отсюда вы­текает:

8. При аффинном отображении прямая переходит в прямую.

Мы сейчас дадим второе доказательство этого факта.

Пусть дано аффинное отображение. Оно состоит в том, что каждая точка М с координатами х, у (в координатной системе Oe₁ e₂ ) переходит в точку М', имеющую те же координаты во второй системе О′е₁ ′е₂ ′. Отсюда следует:

9. При данном аффинном отображении (определенном переходом от репера Ое₁ е₂ к реперу О′е₁ ′е₂ ′) множество всех точек, координаты которых (в координатной системе Ое₁ е₂ ) удовлетворяют некоторому уравнению, переходит в множество точек, координаты которых в системе О′е₁ ′е₂ ′ удовлетворяют тому же уравнению.

В частности, прямая с уравнением

Ах + Ву + С = 0

(в системе Ое₁ е₂ перейдет в прямую, имеющую то же уравнение, но только в системе координат О'е'₁ е'₂ .

Теорема 1. При аффинном преобразовании плоскости прямые переходят в прямые, плоскости пере­ходят в плоскости.

При этом сохраняется параллельность.

В самом деле, если две прямые параллельны, то их уравнения относительно репера Ое₁ е₂ удовлетворяют известным условиям параллельности; но образы этих прямых имеют те же уравнения относительно репера О'е'₁ е'₂ и, значит, удовлетворяют тем же условиям параллельности.

Теорема 2. При аффинном преобразовании плоскости, переводящем прямую d в прямую d′, отрезок М₀ М₁ прямой d переходит в отрезок М'₀ М₁ ′ прямой d', а точка М прямой d, делящая отрезок М₀ М₁ в данном отношении λ переходит в точку М' прямой d', делящую отрезок М'₀ М₁ ′ в том же отношении λ.

Доказательство. Так как при положительном λ мы получим точки, лежащие внутри отрезка М₀ М₁ (соответственноМ₀ ′М₁ ′), а при отрицательном – вне отрезка, то из второго теоремы 2 следует первое. Доказываем второе утверждение теоремы 2. Пусть в системе координат Ое₁ е₂ имеем М₀ =(x₀ ,y₀ ),

М₁ =(x₁ ,y₁ ), М=(x,y). Так как точка М делит отрезок М₀ М₁ в отношении λ, то

; (1)

При данном аффинном преобразовании точки М₀ ,М₁ ,М перейдут в точки М₀ ′,М₁ ′, М′ с теми же координатами, что и у точек М₀ ,М₁ ,М, но только в координатной системе О'е'₁ е'₂ . Эти координаты по-прежнему связаны соотношениями (1), из которых следует, что М′ делит отрезок М₀ ′М₁ ′ в отношении λ. Этим теорема доказана.

3.Аналитическое выражение аффинных преобразований (формулы перехода).

Задача: Как зная параметры одной системы относительно другой можно определить положение точки в обеих системах координат( т.е. как найти формулы переходе от одной системы(старой) к другой новой системе.

Рассмотрим случаи преобразования для аффинных систем координат.

1) Пусть дана система R={О, (е₁ , е₂ )} и пусть в ней задана М=(x,y)_R , О(0,0)_R - координаты начала. е₁ (1,0)_R , е₂ (0,1)_R – координаты базисных векторов.

2) Пусть задана вторая система координат R′={О, (е₁ ′, е₂ ′)}, причем известны параметры, определяющие новый базис и новое начало координат через старую систему координат, т.е. О′(x₀ ,y₀ )_R , е₁ ′(С₁₁ ,С₁₂ )_R , е₂ ′(С₁₂ ,С₂₂ )_R

Поставим задачу найти координаты точки М в новой системе координат(М(x′,y′)_{R ′} ). Обозначим неизвестные координаты точки М(x′,y′).

Для трех точек О,О′,М: О′М=О′О +ОМ. О′М – радиус вектор точки М в новой системе координат, значит, его координаты будут совпадать с координатами вектора О′М в системе R′ (О′М↔М_{R ′} )=>О′М(x′,y′)_{R ′} => О′М=x′e₁ ′+y′e₂ ′ (1) ; О′О - радиус вектор точки О′ в системе R′, т.е. его координаты будут совпадать с координатами О′О↔ О′_R => О′О(x₀ ,y₀ )_R => О′О= x₀ e₁ +y₀ e₂ (2) ; ОМ↔ М_R => ОМ=xe₁ +ye₂ (3). Т.о. вектор О′М=ОМ −ОО′ после подстановки в данное векторное равенство разложения (1),(2) и (3) будет иметь вид:

x′e₁ ′+y′e₂ ′= xe₁ +ye₂ −(x₀ e₁ +y₀ e₂ ) (4); т.к. в условии заданы параметры, определяющие координаты новых базисных векторов через старый базис, получим для новых базисных векторов следующие векторные равенства:

е₁ ′(С₁₁ ,С₁₂ )_R => е₁ ′= С₁₁ e₁ +С₂₁ e₂ ;

е₂ ′(С₁₂ ,С₂₂ )_R => е₂ ′= С₁₂ e₁ +С₂₂ e₂ ; (5)

Подставим (5) в левую часть (4) и сгруппируем относительно базисных векторов е₁ и е₂ .

x′(C₁₁ e₁ +C₂₁ e₂ )+y′(C₁₂ e₁ +C₂₂ e₂ )- xe₁ -xe₂ +x₀ e₁ -ye₂ +x₀ e₁ +y₀ e₂ =0.
(x′C₁₁ + y′C₁₂ e₁ -x+x₀ )e₁ + (x′C₂₁ +y′ C₂₂ -y+y₀ )e₂ =0.

Т.к. (е_1, е₂ ) образуют базис, то это линейнонезависимая система, для которой последнее векторное равенство выполняется при условии, что все коэффициенты левой части равны нулю, т.е. при условии

(6);

(6)- формулы перехода от старой системы R к новой системе R′ при переменных x′ и y′.

Т.к столбцы определителя- это координаты базисных векторов е₁ ′ и е₂ ′, то данный определитель никогда не обращается в ноль, т.е. система (6) однозначно разрешима относительно переменных х′ и у′, что всегда позволяет найти формулу обратного перехода от R′ к R.