Курсовая работа: Анализ ошибок заочной математической школы

Ответ: 82.

Анализ ошибки: При решении данной задачи не было учтено существование чисел, которые делятся на 6 (на 2 и на 3). В результате такие числа были подсчитаны два раза: первый – как делящиеся на 2, второй – как делящиеся на 3.

При решении такого рода задач (задач на подсчет количества элементов, удовлетворяющих условию задачи), следует разделять множество всех объектов на попарно непересекающиеся множества или каким-то образом учитывать их пересечения.

Другое дело, если мы проводим отдельно для каждого множества, объединение которых дает весь класс, какое-либо построение, нахождение (скажем, корней уравнения) или доказательство. Пересечение множеств при этом может быть и не пустым, на результат это не влияет. Главное, чтобы каждый из объектов принадлежал хотя бы одному из рассматриваемых множеств. В противном случае решение будет неполным. Приведем пример:

Пример А3: Все треугольники равновелики.

Решение: Пусть стороны треугольника D равны a , b , c , соответствующие высоты h_a , h_b , h_c , площадь равна S .

Для обозначения треугольников будем использовать те же обозначения только с соответствующим числом штрихов.

Так как S = ah /2 , то:

;	(1)
.	(2)

Из (1) и (2) следует:

;

.

Следовательно,

,

или:

.

(3)

Умножив обе части равенства (3) на и раскрыв скобки, получим:

.

(4)

Прибавив к обеим частям равенства (4) разность , получим:

.

(5)

Из (5) следует, что

.

(6)

Анализ ошибки: В данном случае переход от (5) к (6) не равносильный, так как равенство (5) выполняется в двух случаях:

1) , тогда не обязательно, чтобы .

2) , тогда обязательно .

Заметим, что всегда. Поэтому, отбросив первый случай, ученик по сути дела пошел по неверному пути. Все ученики хорошо знают, что на ноль делить нельзя. Тем не менее они часто делят на выражения без проверки равенства последних нулю.

Приведем еще один пример, когда рассмотрены не все возможные случаи.

Пример А4: Дан треугольник ABC . Проведена высота BH , равная 4. Найдите площадь треугольника ABC , если известно, что AH =6, BC =5.

Решение: Так как треугольник BCH прямоугольный, то

CH = = 3.

Значит AC = AH + HC = 6 + 3 = 9.

Площадь треугольника ABC соответственно равна:

.

Анализ решения: В рассуждениях ошибок нет, но не рассмотрен случай, когда треугольник ABC – тупоугольный. Рассуждения будут аналогичными, а ответ другой. Очевидно, ученик бессознательно использовал в решении особенности своего чертежа, не вытекающие из условия задачи.

1.2 Синтез.

Синтез – это мысленное объединение частей, свойств, действий в единое целое. Синтез не является механическим соединением частей и поэтому не сводится к их сумме [2].