Курсовая работа: Анализ ошибок заочной математической школы
Задача С1: Решить неравенство 
.
Решение: так как знаменатель дроби всегда положителен, то он не влияет на знак. Получаем, что решением неравенства будет промежуток (–3; 3).
Анализ ошибки: Знаменатель действительно не влияет на знак неравенства, но при равенстве последнего нулю дробь не имеет смысла, поэтому x = 0 следует исключить из множества решений.
Таким образом, от того, в какой степени учтены свойства исследуемого объекта, зависит конечный результат синтеза.
1.3 Сравнение и аналогия.
Сравнение – это установление сходства или различия между предметами или их отдельными признаками . Сравнение приводит к правильному выводу, если выполняются следующие условия: сравниваемые понятия однородны и сравнение осуществляется по таким признакам, которые имеют существенное значение.
Процесс сравнения и аналогия тесно связаны. Можно сказать, что сравнение подготавливает почву для применения аналогии . С помощью аналогии сходство предметов, выявленное в результате их сравнения, распространяется на новое свойство. Рассуждения по аналогии можно представить следующей схемой:
Объект A обладает свойствами c 1 , c 2 , …, cn .
Объект B обладает свойствами c 1 , c 2 , …, cn -1 .
Предполагается, но не утверждается, что B обладает свойствомcn . Именно поэтому аналогию нельзя считать доказательным методом, ее еще надо обосновать. Тем не менее, рассуждения по аналогии полезны в процессе обучения, так как подразумевают самостоятельную формулировку новых теоретических фактов. Основная ошибка школьников при применении аналогии – это отсутствие рассуждений, которые бы полностью ее обосновывали. Без них решение является неполным или просто неверным.
Рассмотрим наиболее часто встречающиеся в решениях школьников виды необоснованных аналогий:
1) Расширение сферы применения теоремы. Появление такого рода ошибки, как правило, связано с формальным знанием теоремы или свойства. В сознании ученика четко не выделены условия применимости теоремы, и в результате некоторые из них остаются за пределом его рассмотрения. Следствием этого является незаконное использование теоремы. По сути ученик применяет не теорему, а ее аналог, который нередко оказывается неверным. Рассмотрим пример:
Пример A н1 : Хорда, не проходящая через центр окружности, равна диаметру.[5]
Доказательство: Дана окружность с диаметром AB . Выберем на ней произвольно точку C . Середина AC – точка D . Проведем через точки B и D хорду BE .
Теперь соединим точки C и E .
Рассмотрим треугольники ADB и DCE . Они равны по стороне и двум углам :AD = DC по построению; ÐB = ÐC как вписанные, опирающиеся на одну дугу AE ; ÐADB = ÐCDE как вертикальные. Значит соответствующие стороны AB и EC равны.
Анализ ошибки: «Равенство треугольников по стороне и двум углам» – именно такую условную формулировку часто дают признаку равенства треугольников по стороне и прилежащим к ней углам. В результате школьники просто ищут пары равных элементов: AD = DC , ÐB = ÐC , ÐADB = ÐCDE . При этом условие, что углы должны быть прилежащими соответственно к сторонам AB и DC , забывается. Буквальное восприятие условной формулировки признака равенства треугольников приводит к замене его совсем другим. Произошло расширение сферы применения признака. Ученик воспользовался им без выполнения надлежащих условий, он заменил их на более общие. Это и привело к противоречивому факту – равенству хорды, не проходящей через центр, диаметру. В этом случае лучше всего будет, если ученик самостоятельно, просмотрев предварительно точную формулировку признака равенства треугольников, найдет у себя ошибку.
2) Использование вместо теоремы обратного к ней утверждения. Смысл рассуждений при этом заключается в следующем: если у нас верно A Þ B , то верным будет и B Þ A . Понятно, что это выполняется не всегда. Приведем простой пример, когда обратная теорема не верна, и ее применение приводит к противоречивому результату.
Пример Ан2: Докажем, что все числа равны.
Для этого возьмем два произвольных числа a и b . Докажем, что a = b .
0 = 0 Þ a2 – 2ab +b2 = b2 –2ab + a2 Þ (a – b)2 = (b – a)2 Þ a – b =
= b – a Þ 2a = 2b Þ a = b.
Переход(a – b)2 = (b – a)2 Þ a – b = b – a неверен. Дело в том, что из равенства чисел следует равенство их квадратов, но из равенства квадратов не следует равенство чисел (будут равны лишь их модули).
3) Ошибки при попытке обобщения. Пусть у нас имеется класс A и класс B . Для элементов класса A выполняется свойство CA . Делается предположение, что для элементов класса B будет выполняться условие CB , которое построено по аналогии со свойством CA в соответствии с особенностями класса B . Например:
Задача Ан3: В прямом параллелепипеде ребра равны a , b , c . Найдите длину главной диагонали.
Решение: Так как в прямоугольнике квадрат диагонали равен сумме квадратов его сторон, то квадрат главной диагонали в прямом параллелепипеде будет равен сумме квадратов его ребер, то есть a 2 + b 2 + c 2 .
В данном случае утверждение, полученное по аналогии, верно, но не доказано.
Другой пример: в плоскости любая прямая задается уравнением вида Ax + By + C = 0 . Предположение, что в пространстве любая прямая будет задаваться уравнением вида
Ax + By + Cz + D = 0 не верно.
Задача учителя – объяснить ученику, что утверждение, полученное по аналогии с верным, может оказаться неверным. Поэтому оно требует отдельного доказательства.
1.4 Абстракция, конкретизация и обобщение.