Курсовая работа: Аналіз теоретичної бази інтерполювання функції

Заміна функції f(х) її інтерполяційним многочленом Рn(x) може знадобитися не тільки тоді, коли відома лише таблиця її значень, але і коли аналітичний вираз для f(х) відомо, проте є занадто складним і незручним для подальших математичних перетворень (наприклад, для інтегрування, диференціювання тощо). Іноді розглядаються задачі тригонометричної інтерполяції (інтерполююча функція – тригонометричний поліном). Інтерполюючою може бути також раціональна функція.

У загалі залежність, якій підпорядковується функція, може бути апроксимована многочленом степеня :

. (3)

Таку задачу називають задачею параболічної інтерполяції (або інтерполюванням).

Загалом є багато інтерполяційних формул та методів. До них відносяться такі: інтерполяційні формули Гаусса, Стірлінга та Бесселя (які є похідними від формул Гаусса), Ньютона (перша та друга) та багато інших.

1.2 Параболічна інтерполяція

Для визначення коефіцієнтів многочлена (3) необхідно мати вузлову точку. Аналітичне визначення коефіцієнтів інтерполяційного многочлена для точки зводиться до рішення системи лінійних рівнянь порядку, кожне з яких являє собою вираз (3), записаний для визначеної вузлової точки

, (4)

де .

Даним методом побудови інтерполяційного поліному зручно користуватися, маючи персональний комп’ютер і відповідні програми. Даний метод не є єдиним способом побудови інтерполяційного поліному. Інший підхід, яким часто користуються на практиці, називається методом Лагранжа[2].

1.3 Метод Лагранжа

Нехай при функція приймає відповідно значення . Многочлен степеня не вище , що приймає у вузлових точках задані значення, має вид:

(5)

Цей многочлен (5) називається інтерполяційною формулою Лагранжа і має такі властивості:

1. При заданій сукупності вузлових точок будова многочлена можлива тільки єдиним способом.

2. Многочлен Лагранжа може бути побудовано при будь-якому розташуванні вузлів інтерполяції (включаючи і нерівномірне).

У розгорнутому виді форма Лагранжа має вид:

(6)

При формула Лагранжа має вид:

, (7)

і називається формулою лінійної інтерполяції.

При одержимо формулу квадратичної інтерполяції:

(8)

1.4 Обернена інтерполяція

Нехай функція задана таблицею. Задача зворотної інтерполяції полягає в тому, щоб по заданому значенню функції визначити відповідне значення аргументу .

Якщо вузли інтерполяції нерівновіддалені, задача легко вирішується за допомогою інтерполяційної формули Лагранжа (5). Для цього достатньо прийняти за незалежну змінну, а вважати функцією. Тоді отримаємо

, (9)

Розглянемо тепер задачу оберненої інтерполяції для випадку рівновіддалених вузлів інтерполяції. Припустимо, що функція f(х) монотонна і дане значення у знаходиться між і .

Замінюючи функцію першим інтерполяційним многочленом Ньютона, одержимо: