Курсовая работа: Аналіз теоретичної бази інтерполювання функції

де х=х0+qh.

Візьмемо 2n+2 рівновіддалених вузлів інтерполювання

x-n, x-(n-1),..., x0,..., xn-1, xn, xn+1 ,

з кроком h, і нехай

yi= f(xi), (i =-n,…,n+1),

- задані значення функції y= f(x).

Якщо вибрати за початкові значення x= x0 та y= y0, то, використовуючи вузли xk (k= 0, ±1, …, n), будемо мати:

(14)

Приймемо тепер за початкові значення х=х1 і у=у1 і використаємо вузли х1+к (к=0, 1,...,n). Тоді

причому відповідно індекси всіх різниць в правій частині формули (14) зростуть на одиницю. Замінивши в правій частині формули (14) q на q-1 і збільшивши індекси всіх різниць на 1 , отримаємо допоміжну інтерполяційну формулу

(15)

Взявши середнє арифметичне формул (14) і (15), після простих перетворень отримаємо інтерполяційну формулу Бесселя

інтерполяція функція бессель програма

(16)

Інтерполяційна формула Бесселя (16), як слідує з способу отримання її, представляє собою поліном, що співпадає з даною функцією y= f(x) в 2n+2 точках

x-n , x-(n-1),…, xn , xn+1.

В частинному випадку, при n=1, нехтуючи різницею ∆3y-1, отримаємо формулу квадратичної інтерполяції по Бесселю

,

В формулі Бесселя всі члени, які містять різниці непарного порядку, мають множник q-; тому при формула (16) значно спрощується :

Цей спеціальний випадок формули Бесселя називається формулою інтерполювання на середину. Якщо в формулі Бесселя (3) зробити заміну по формулі то вона приймає більш симетричний вид

Приклад розв’язку задачі: