Курсовая работа: Базисные сплайны

Лемма 1.3. Функцииявляются сплайнами степени п дефекта 1 с конечными носителями минимальной длины.

Доказательство. Предположим, что существует сплайн отличный от нуля на интервале, меньшем, чем Такой интервал, очевидно, не может иметь границей точку, не являющуюся узлом сетки . Поэтому пусть это будет интервал (x_i , x_{i + n} ).

Возьмем представление сплайна дефекта v = 1 через усеченные степенные функции (1.4). Вследствие того, что при в этом представлении. Так как при то ее производные до порядка n — 1 равны нулю в точке x_{i + n} . Имеем

Последние равенства представляют собой однородную систему линейных уравнений для определения коэффициентов . Ее определитель пропорционален определителю Вандермонда n-ro порядка, который отличен от нуля, и система имеет только нулевое решение. Наконец, из того же условия следует, что . Значит, и лемма доказана.

Теорема 1.2. Функции линейно независимы и образуют базис в пространстве сплайнов

Доказательство. Покажем сначала линейную независимость функцийна всей действительной оси. Предположим противное, т. е. что существуют такие постоянные , не все равные нулю, что

Выбирая получаем, чтои, значит, . Беря затем находим, что и т.д., т.е. Следовательно, функции линейно независимы на

Предположим теперь, что соотношение (8) выполняется только на [а, b]. Это значит, что на отрезках обращаются в нули сплайны вида

Каждый из них отличен от нуля самое большее на интервале Поэтому из предположения при xсогласно доказательству леммы 3 следует, что 0 на интервалах , а значит, и на всей действительной оси. В силу линейной независимости функций надолжно быть и это для всех i = 0, ..,N-1.

Таким образом, функциилинейно независимы, и так как согласно теореме 1.1 размерность пространстваравна n+N, то они образуют базис в этом пространстве. Теорема доказана.

Функции называются базисными сплайнами с конечными носителями минимальной длины (В-сплайнами). В силу теоремы 1.2 всякий сплайн может быть единственным образом записан

где — некоторые постоянные коэффициенты. Эту запись сплайна называют его представлением через В-сплайны.

Из теоремы 1.2 вытекает

Следствие 1.1. Всякий сплайн, принадлежащий , с конечным носителем минимальной длины с точностью до постоянного множителя совпадает с В-сплайном.

Доказательство. Минимальным конечным носителем сплайна является один из интервалов Согласно (9)

Так как для то, выбирая последовательно , получаем, что . Аналогично, для Следовательно,

Замечание. Представление сплайнов через B-сплайпы в виде (9) имеет смысл для конечного отрезка [а, b]. Чтобы получить его для всей вещественней оси, нужно положить и . Тогда точки оказываются узлами кратности и при построении B-сплайнов с номерами и нужно учитывать правило для разделенных разностей с кратными узлами. Мы не описываем подробно эти конструкции, ибо все практические задачи, где используются B-сплайны, рассматриваются на конечном отрезке.

§3. Нормализованные базисные сплайны и представление ими многочленов

При практических вычислениях удобнее использовать не сами B-сплайны, а функции, получающиеся из них умножением на постоянные множители:

(1)

Эти функции называются нормализованными В-сплайнами. Нормирующий множитель равен среднему арифметическому шагов на отрезке, где B-сплайн отличен от нуля.

Тождество (2.4) для нормализованных 5-сплайнов имеет вид

С его помощью легко можно построить последовательность сплайнов Приведем первые четыре функции этой последовательности для случая равноудаленных узлов h_i = h.

Будем обозначатьТочка - это середина отрезка-носителя В-сплайна. Тогда имеем