Курсовая работа: Базисные сплайны
Эти В-сплайны изображены на рис. 1.3, а, б, в, г соответственно.
В § 1 было отмечено, что многочлены Рп (х) степени не выше n являются элементами пространства сплайнов 
. Следовательно, они представимы через базисы этих пространств, в частности через базис из В-сплайнов в пространстве 
. Для вывода формул воспользуемся тождеством (2). После умножения обеих его частей на число и суммирования по индексу i получаем
Лемма 1.4. Справедливо тождество
в предположении 
Доказательство. В формуле (4) положим 
Тогда получаем
Подставляя 
в (3), находим
Повторяя это преобразование n раз, получим справа
Теперь разложим обе части тождества (5) по степеням t. При этом
Здесь 
суть символы элементарных симметрических функций от n аргументов степени а. Это многочлены, состоящие из 
слагаемых. Они имеют вид
Подставляя разложения (6) и (7) в (5) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях t, находим представления мономов 
через нормализованные В-сплайны па отрезке 
В частности, при а = 0 получаем соотношение
которое для нормализованных 5-сплайпов играет ту же роль, что свойство (2.6) для самих 5-сплайнов.
Полученные формулы (8) решают вопрос о представлении произвольного многочлена п-й степени через нормализованные В-сплайны.
Заключение
В данной работе мы рассмотрели понятие сплайна и основные определения необходимые для работы с ним. Было изучено понятие базисного сплайна или B-сплайна, а так же уделено внимание его форме в виде нормализованного сплайна. Так же была создана программа для интерполяции сплайнов при помощи языка программирования высокого уровня C++.
Список литературы
1. Вержбицкий В.М. Основы численных методов – М.:Высш. шк., 2002.
2. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн – функций - М.: Наука, 1980. 352 с
3. Бахвалов Н. С., Жидков Е. П., Кобельков Г. М. Численные методы. Учебное пособие. - 4-е издание – М.- СПб.: Физматлит, Невский диалект, Лаборатория базовых знаний, 2003
4. Препарата Ф., Шеймос М. Вычислительная геометрия. Введение. - Мир, 1989
5. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа - М.: Наука, 1976