Курсовая работа: Биекторы в конечных группах
Теорема Если --- разрешимый класс Шунка, а
--- разрешимая насыщенная формация, то
--- разрешимый класс Шунка.
Следствие Если и
--- разрешимые насыщенные формации, то
--- разрешимая насыщенная формация.
Теорема Если и
--- классы Фиттинга, то
--- класс Фиттинга и
.
Лемма Пусть --- разрешимая группа, тогда
1) если , то
;
2) если , то
;
3) если , то
.
В частности, если и
--- разрешимые группы
;
4) .
Теорема Для любого класса Шунка в каждой разрешимой группе
любой
-проектор является
-покрывающей подгруппой и любые две
-покрывающие подгруппы группы
сопряжены между собой.
Лемма Пусть --- разрешимая группа. Тогда:
1) ;
2) .
Лемма Для любого гомоморфа и любой группы
справедливы следующие утверждения:
1) если -
-проектор группы
и
максимальна в
, то
-
-покрывающая подгруппа группы
;
2) если -
-покрывающая подгруппа в группе
и
, то
-
-покрывающая подгруппа в
;
3) если -
-покрывающая подгруппа группы
и
, то
-
-покрывающая подгруппа фактор-группы
;
4) если и
---
-покрывающая подгруппа фактор-группы
, то каждая
-покрывающая подгруппа из
является
-покрывающей подгруппой из
.
Теорема Пусть --- класс Фиттинга и
--- разрешимая группа. Тогда
является
-инъектором группы
тогда и только тогда, когда
будет
-максимальной в
и
---
-инъектор коммутанта
.
Следствие Пусть --- класс Фиттинга и
--- разрешимая группа. Если
---
-инъектор группы
и
, то
---
-инъектор в
.