Определение. Пусть --- группа и --- класс групп. Если и , то --- -подгруппа группы .

Определение. -максимальной подгруппой группы называется такая -подгруппа группы , которая не содержится ни в какой большей -подгруппе.

Определение. -проектором группы называется такая подгруппа группы , что , является максимальной в .

Определение. Пусть --- класс групп. Подгруппа группы называется -инъектором , если для каждой субнормальной подгруппы группы пересечение является -максимальной подгруппой в .

Определение. Пусть --- класс групп. Подгруппа группы называется -биектором , если является -максимальной подгруппой в , а является -максимальной в для каждой нормальной подгруппы .

Ясно, что -биектор одновременно является -проектором и -инъектором группы .

Пример Примерами -биекторов служат силовские -подгруппы групп для класса всех -групп.

Пример В группе силовская 2-подгруппа является -биектором.

Пример Группа не является метанильпотентной, но -проекторы и -инъекторы совпадают между собой и являются нехолловыми подгруппами порядка 24.

4. Биекторы и их свойства

Для локальной формации каждая конечная разрешимая группа обладает единственным классом мопряженных -проекторов. Если --- радикальный класс, т. e. класс Фиттинга, то каждая конечная разрешимая группа содержит единственный класс сопряженных -инъекторов. Но наиболее употребительными в современной алгебре классы конечных групп являются одновременно и локальными формациями, и радикальными классами. Поэтому вполне естественно встает вопрос о существовании -биекторов в конечных разрешимых группах для локальной радикальной формации .

В настоящей работе показывается, что -биекторы во всех разрешимых группах существуют только в том случае, когда совпадает с классам всех разрешимых -групп. Кроме того устанавливается, что в метанильпотентных группах существование -биектора превращает его в -холловскую подгруппу, и приведен пример, показывающий, что в разрешимых группах ступени нильпотентности это свойство нарушается.

Пусть --- класс групп. Через обозначается совокупность всех простых чисел , для которых в существует неединичная -подгруппа, т. е. . Множество называется характеристикой класса .

Для любого множества простых чисел через обозначается класс всех нильпотентных -групп.

Лемма Если --- класс Шунка, то .

Доказательство. Пусть . Ясно, что примитивная нилпотентная группа имеет простой порядок. Если --- произвольная примитивная факторгруппа группы , то имеет простой порядок . Так как , то . Из определения класса Шунка получаем, что . Таким образом, . Обратно, если , то для любого простого делителя порядка существует подгруппа индекса . Так как , то и . Лемма доказана.

Следствие Если --- локальная формация, то .

Доказательство. Достаточно вспомнить, что локальная формация является насыщенной, а значит и классом Шунка.

Лемма Пусть --- класс Шунка и --- конечная нильпотентная группа. Если --- подгруппа из , то является -проектором в тогда и только тогда, когда --- -холловская подгруппа.

Доказательство. Пусть --- -проtктор в группе . Так как , то по лемме подгруппа является -подгруппой. Пусть --- -холловская в подгруппа. Ясно, что . Nак как , то --- -подгруппа и .

Обратно, пусть --- -холловская подгруппа и пусть --- -проектор в . Так как , то --- -подгруппа и .

Лемма Если --- радикальныи класс, то .

Доказательство. Если , то в существует субнормальная подгруппа простого порядка , для любого . Поэтому , , и .

Обратно, пусть , тогда для каждого в существует подгруппа . Значит все -подгруппы содержатся в . Так как замкнут относительно прямых произведений, то . Лемма доказана.

Лемма Пусть --- радикальный класс и --- конечная нильпотентная группа. Если --- подгруппа из , то является -инъектором в тогда и только тогда, когда --- -холловская подгруппа.

Доказательство. Пусть --- -инъектор в . Так как , то будет -подгруппой в . Если --- -холловская в подгруппа, то и --- -подгруппа. Поэтому .

Обратно, если --- -холловская подгруппа в , то . Если --- -инъектор, то и --- подгруппа, поэтому . Лемма доказана.

Пусть , где --- пробегает все группы из . Если --- разрешимый радикальный класс, то .

Следствие Пусть --- радикальный класс Шунка. Тогда в каждой конечной нильпотентной группе существует -биектор и подгруппа является -холловской подгруппой группы .