Математика / Курсовая работа: Биекторы в конечных группах

Курсовая работа: Биекторы в конечных группах

Следствие Пусть --- радикальная локальная формация. Тогда в каждой нильпотентной группе существует -биектор и подгруппа является -холловской подгруппой группы .

Обозначим через совокупность всех -проекторов группы , а через совокупность всех -инъекторов.

Теорема Пусть --- радикальный класс Шунка. Если в конечной метанильпотентной группе существует -биектор , то является -холловской подгруппой группы .

Доказательство. Пусть . Так как в разрешимой группе все -проекторы и все -инъекторы сопряжены между собой, то .

Пусть --- подгруппа Фиттинга. Так как --- -инъектор в , то по лемме подгруппа является -холловской подгруппой в .

Так как нильпотентна и является -проектором в , то будет -холловской подгруппой в по лемме . Поскольку , то - -подгруппа. Кроме того, и есть -число. Значит, --- -холловская подгруппа.

Следствие Пусть --- радикальная локальная формация. Если в конечной метанильпотентной группе существует -биектор , то является -холловской подгруппой группы .

Замечание. Группа не является метанильпотентной, но -проекторы и -инъекторы совпадают между собой и являются нехолловскими подгруппами порядка .

Теорема Пусть --- радикальный класс Шунка и --- нормально наследственный гомоморф. Если в каждой группе существует -биектор, то .

Доказательство. Предположим, что не содержится в , и пусть --- группа наименьшего порядка из разности . Если имеет простой порядок , то и , противоречие. Значит, --- группа непростого порядка и можно выбрать нетривиальную нормальную в подгруппу . Так как и --- -подгруппа в , то и .

Пусть --- -биектор в . Тогда --- -инъектор в и . Поскольку является -проектором в , то -максимальна в . Так как --- гомоморф, то , а по выбору группы получаем, что , т. е. и , противоречие. Значит, допущение не верно и .

Следствие Если --- радикальный класс Шунка, для которого в каждой конечной разрешимой группе существует -биектор, то .

Следствие Если --- радикальная локальная формация, для которой в каждой конечной разрешимой группе существует -биектор, то .

Для натурального числа через обозначим класс всех разрешимых грeпп нильпотентной длины не более . При имеем класс всех нильпотентных групп, а при --- класс всех метанильпотентных групп.

Лемма Для любого натурального числа , класс является радикальной насыщенной наследственной формацией.

Доказательство. Применим индукцию по . При имеем класс всех нипьпотентных групп, он являетсяся насыщенной наследственной формацией и классом Фиттинга. Пусть утверждение справедливо для . По следствию (3)

Но класс состоит из всех разрешимых групп нильпотентной длины, меньшей либо равной , т. е. , поэтому

Согласно следствию (2) класс насыщенная формация, а по теореме (1) и радикальныи. В силу леммы(1), он наследственныи класс. Следовательно, класс является радикальной насыщенной наследственной формацией. Лемма доказана.

Лемма Пусть --- разрешимая группа и . Если --- -проектор группы , то .

Доказательство. Поскольку --- насыщенная формация, то -проектор в группе существует согласно следствию . Поскольку , то . Если , то и утверждение доказано. Пусть и . По лемме(2), , а поскольку --- -проектор группы , то . Тогда , следовательно, , и . Теорема доказана.

Теорема Если в разрешимой группе существует -биектор и , то .

Применим индукцию по порядку группы. Пусть --- -биектор группы . Нам надо доказать, что . Предположим, что и . Тогда является -биектором подгруппы по лемме и следствию . По индукции ,следовательно, --- максимальная подгруппа группы .