Курсовая работа: Частотно-временной анализ сигналов

Выберем из всего множества сигналов такие, которые ограничены полосой частот 2^I , т.е. имеющие спектр . Рассмотрим периодическую функцию такую, что: , т.е. полученную периодизацией F₁ (ω) (рис. 3.14)

Тогда спектр функции: F_i (ω) при произвольном I можно представить в виде:

Где - функция окна такая, что:

Посмотрим, как при этих условиях можно представить функцию f (t) во временной области. Для этого разложим периодическую функцию с периодом , в ряд Фурье (см. ):

Где, подставляя (3.5.10а) в (3.5.9) и выполняя обратное преобразование Фурье, получим:

Вычислим первый интеграл. Переставляя операции суммирования и интегрирования и ограничивая пределы интегрирования с учетом функции окна, получим:

где вейвлет

(3.5.14)

и (см. рис. 3.16):

(3.5.15)

Выражение (3.5.13) является представлением функции f (t) в базисе вейвлет. В рассматриваемом частном случае идеальной полосовой фильтрации вейвлетом является функция (3.5.14), образованная из материнской функции по (3.5.15) с учетом (3.5.12). Такой вейвлет называется sinc –вейвлетом по имени функции (3.5.12), которая его образует, а функция (3.5.12) получила название масштабной функции.

Множительпри необходим для сохранения нормы вне зависимости от величины масштаба, так как:

Покажем, что в рассматриваемом частном случае т.е. определяется отсчетами функции при . Рассмотрим интеграл Фурье () при дискретных значениях функции, заданной на интервале Имеем, с учетом (3.5.10б):

Последнее равенство справедливо при и вещественных

Следовательно,

Выполнив преобразование Фурье выражения (3.5.14), можно видеть, что спектр Фурье sinc -вейвлета представляет собой идеальный полосовой фильтр, в общем случае занимающий полосу частот от до

Вейвлет Хаара. Разобьем теперь временную ось на интервалы, как показано на рис. 3.17 и определим на единичном интервале функцию