Курсовая работа: Числа е та пі

тому що наступна похідна тотожно дорівнює нулю.

З рівності (1.3.4) одержуємо:

(1.3.5)

де ціле число.

Оскільки в інтервалі подінтегральна функція позитивна, то інтеграл у лівій частині (1.3.5) більше нуля й . З іншого боку, з рівності (1.3.2) видно, що при маємо:

і оскільки , то при нашім виборі маємо:

тобто .

Припущення, що раціонально, привело нас до протиріччя, отже , ірраціональне.

Теорема доведена.

Ірраціональність числа була доведена вперше в 1761 році французьким математиком Ламбертом. Доказ Ламберта заснований на застосуванні безперервних дробів.

π — трансцендентне число, це означає, що воно не може бути коренем багаточлена із цілими коефіцієнтами. Трансцендентність числа π була доведена в 1882 році професором Кьонінгзбергського, а пізніше Мюнхенського університетуЛіндеманом. Доказ спростив Феликс Клейн в 1894 році.

Для того щоб довести трансцендентність числа π доведемо спочатку три допоміжних твердження.

Лема 1.3.1. При будьякому цілому позитивному й будьякому , має місце рівність

(1.3.6)

де

Доведення. Скористаємося розкладанням функції в ряд

Із цього розкладання треба, щоб

де

Тому що

Лема доведена.

Лема 1.3.2 Нехай

де

Тоді

(1.3.7)

де

(1.3.8)

(1.3.9)

Покладаючи в рівності (1.3.6), одержимо

Помноживши ці рівності, відповідно, на й склавши, одержимо рівність (1.3.7).

Лема 1.3.3. Сума й добуток двох алгебраїчних чисел є числами алгебраїчними (і притім цілими алгебраїчними, якщо такими є доданки й множники).

Доведення. Дійсно нехай алгебраїчне число, що є коренем рівняння ого ступеня з раціональними коефіцієнтами й інших корінів цього рівняння й нехай – алгебраїчне число , що є коренем рівняння ой ступеня з раціональними коефіцієнтами , а – інших корінів цього рівняння.

Добуток всіх різниць виду, мабуть, є багаточленом, одним з корінів якого є . Отже, нам досить переконатися в тім, що коефіцієнти цього багаточлена суть раціональні числа. Але ці коефіцієнти суть симетричні функції від аргументів і аргументів . Застосовуючи двічі теорему про симетрію функції (“Якщо симетрична функція є багаточленом і корінь рівняння те де багаточлен. Зокрема, якщо коефіцієнти багаточлена цілі числа , то коефіцієнти багаточлена теж цілі числа ” [9], ми переконаємося в справедливості нашого твердження про добуток алгебраїчних чисел. Аналогічно доводиться твердження про суму

Тепер перейдемо до доказу самої теореми, що транcцендентне число.

Теорема.транcцендентне число.