Курсовая работа: Число как основное понятие математики

1.1. Функции натуральных чисел

Натуральные числа имеют две основные функции:

характеристика количества предметов;

?????????????? ??????? ?????????, ??????????? ? ???.

В соответствии с этими функциями возникли понятия порядкового числа (первый, второй и т.д.) и количественного числа (один, два и т.д.).

Долго и трудно человечество добиралось до 1-го уровня обобщения чисел. Сто веков понадобилось, чтобы выстроить ряд самых коротких натуральных чисел от единицы до бесконечности:1, 2, … ∞. Натуральных потому, что ими обозначались (моделировались) реальные неделимые объекты: люди, животные, вещи…

2. Рациональные числа

2.1. Дробные числа

2.1.1. О происхождении дробей

С возникновением представлений о целых числах возникали представления и о частях единицы, точнее, о частях целого конкретного предмета. С появлением натурального числа n возникло представление о дроби вида 1/n, которая называется сейчас аликвотной, родовой или основной.

Чтобы выяснить вопрос о происхождении дроби, надо остановиться не на счете, а на другом процессе, который возник со стародавних времен, - на измерении. Исторически дроби возникли в процессе измерения.

В основе любого измерения всегда лежит какая-то величина (длина, объем, вес и т.д.). Потребность в более точных измерениях привела к тому, что начальные единицы меры начали дробить на 2, 3 и более частей. Более мелкой единице меры, которую получали как следствие раздробления, давали индивидуальное название, и величины измеряли уже этой более мелкой единицей.

Так возникали первые конкретные дроби как определенные части каких-то определенных мер. Только гораздо позже названиями этих конкретных дробей начали обозначать такие же самые части других величин, а потом и абстрактные дроби.

2.1.2. Дроби в Древнем Риме

Римляне пользовались, в основном, только конкретными дробями, которые заменяли абстрактные части подразделами используемых мер. Они остановили свое внимание на мере «асс», который у римлян служил основной единицей измерения массы, а также денежной единицей. Асс делился на двенадцать частей – унций. Из них складывали все дроби со знаменателем 12, то есть 1/12, 2/12, 3/12…

Так возникли римские двенадцатеричные дроби, то есть дроби, у которых знаменателем всегда было число 12. Вместо 1/12 римляне говорили «одна унция», 5/12 – «пять унций» и т.д. Три унции назывались четвертью, четыре унции – третью, шесть унций – половиной.

Сейчас «асс» - аптекарский фунт.

2.1.3. Дроби в Древнем Египте

Первая дробь, с которой познакомились люди, была, наверное, половина. За ней последовали 1/4, 1/8 …, затем 1/3 , 1/6 и т.д., то есть самые простые дроби, доли целого, называемые единичными или основными дробями. У них числитель всегда единица. Некоторые народы древности и, в первую очередь, египтяне выражали любую дробь в виде суммы только основных дробей. Лишь значительно позже у греков, затем у индийцев и других народов стали входить в употребление и дроби общего вида, называемые обыкновенными, у которых числитель и знаменатель могут быть любыми натуральными числами.

В Древнем Египте архитектура достигла высокого развития. Для того, чтобы строить грандиозные пирамиды и храмы, чтобы вычислять длины, площади и объемы фигур, необходимо было знать арифметику.

Из расшифрованных сведений на папирусах ученые узнали, что египтяне 4 000 лет назад имели десятичную (но не позиционную) систему счисления, умели решать многие задачи, связанные с потребностями строительства, торговли и военного дела.

Вот как записывали египтяне свои дроби. Если, например, в результате измерения получалось дробное число 3/4 , то для египтян оно представлялось в виде суммы единичных дробей ½ + ¼ .

2.1.4. Вавилонские шестидесятеричные дроби

Раскопками, проведенными в ХХ веке среди развалин древних городов южной части Двуречья, обнаружено большое количество клинописных математических табличек. Ученые, изучая их, установили, что за 2000 лет до н. э. у вавилонян математика достигла высокого уровня развития.

Письменная шестидесятеричная нумерация вавилонян комбинировалась их двух значков: вертикального клина ▼, обозначавшего единицу, и условного знака ◄, обозначавшего десять. В вавилонских клинописных текстах впервые встречается позиционная система счисления. Вертикальный клин обозначал не только 1, но и 60, 602, 603 и т.д. Знака для нуля в позиционной шестидесятеричной системе у вавилонян вначале не было. Позже был введен знак èè , заменяющий современный ноль, для отделения разрядов между собой.

Происхождение шестидесятеричной системы счисления у вавилонян связано, как полагают ученые, с тем, что вавилонская денежная и весовая единицы измерения подразделялись в силу исторических условий на 60 равных частей:

1 талант = 60 мин;

Шестидесятые доли были привычны в жизни вавилонян. Вот почему они пользовались шестидесятеричными дробями, имеющими знаменателем всегда число 60 или его степени: 602 = 3600, 603 = 216000 и т.д. В этом отношении шестидесятеричные дроби можно сравнить с нашими десятичными дробями.

Вавилонская математика оказала влияние на греческую математику. Следы вавилонской шестидесятеричной системы счисления удержались в современной науке при измерении времени и углов. До наших дней сохранилось деление часа на 60 мин., минуты на 60 с, окружности на 360 градусов, градуса на 60 мин., минуты на 60с.

Вавилоняне внесли ценный вклад в развитие астрономии. Шестидесятеричными дробями пользовались в астрономии ученые всех народов до XVII века, называя их астрономическими дробями. В отличие от них, дроби общего вида, которыми пользуемся мы, были названы обыкновенными.