Курсовая работа: Дослідження лінійно впорядкованого простору ординальних чисел

Визначення 1.13. Топологічним простором називається пара (Х, ), що складається із множини Х и деякого сімейства підмножин множини Х, що задовольняє наступним умовам:

множина Х и Æ належать ;

перетинання кінцевого числа множин з належать ;

об'єднання будь-якого числа множин з належить .

Умови 1 – 3 називаються аксіомами топологічного простору, його елементи – крапками простору. Підмножини множини Х, що належать сімейству , називаються відкритими в Х. Сімейство відкритих підмножин простору Х називається також топологією на Х.

Визначення 1.14. Замкнутою множиною називається множина, що є доповненням до відкритого.

Визначення 1.15. Околицею крапки х топологічного простору називається будь-яка відкрита множина U, що містить х.

Визначення 1.16. Топологічний простір Х називається компактним, якщо з будь-якого його покриття відкритими множинами можна виділити кінцеве під покриття.

Визначення 1.17. Топологічний простір Х називається компактним, якщо будь-яка його центрована система замкнутих множин у Х має непусте перетинання.

Визначення 1.16 і 1.17 рівносильні ([5]).

Визначення 1.18. Простір Х називається локально компактним, якщо кожна крапка має околицю, замикання якої компактно.

Визначення 1.19. Топологічний простір Х називається розрахункове компактним, якщо з кожного рахункового відкритого покриття простору Х можна вибрати кінцеве підпокриття.

Визначення 1.20. Топологічний простір Х називається розрахункове компактним, якщо кожне його нескінченна підмножина містить хоча б одну граничну крапку.

Визначення 1.19 і 1.20 рівносильні ([5]).

Визначення 1.21. Простір називається компактификацією топологічного простору Х, якщо:

1) компактно;

2) Х – підпростір ;

3) Х щільно в.

Визначення 1.22. Топологічний простір Х називається Т 1-простором, якщо для кожної пари різних крапок х1, х2 існує відкрита множина , таке, що х1 і х2 .

Визначення 1.23. Якщо будь-які дві різні крапки х и в топологічного простору Х мають непересічні околиці, то простір Х називається хаусдорфовим простором або Т 2-простором.

Визначення 1.24. Топологічний простір Х називається регулярним простором, або Т 3-простором, якщо Х є Т 1-простір і для будь-якого й кожного замкнутої множини , такого, що , існують відкриті множини U1 і U2, такі, що 1, 2 і U1 U2 = Æ.

Визначення 1.25. Топологічний простір Х називається тихоновським простором, або Т3- простором, якщо Х є Т 1-простір і для будь-якого й будь-якого замкнутої множини , такого, що , існує безперервна функція f: , така, що f(x)=0 і f(y)=1 для .

Визначення 1.26. Топологічний простір Х називається нормальним, або Т 4-простором, якщо для кожної пари непересічних замкнутих множин А и В існують непересічні відкриті множини U і V такі, що А U, B V.

РОЗДІЛ 2. Лінійно впорядкований простір ординальних чисел

§1. ЦІЛКОМ УПОРЯДКОВАНІ МНОЖИНИ І ЇХНІ ВЛАСТИВОСТІ

Розглянемо цілком упорядковані множини і їхні властивості.

Пропозиція 1.1. Усяка підмножина цілком упорядкованої множини саме є цілком упорядкована множина (очевидно).

Пропозиція 1.2. Якщо f – ізоморфізм цілком упорядкованої множини А в себе, то для будь-якого елемента х А виконується нерівність f (x) x. (1)

Доказ.