Курсовая работа: Дослідження лінійно впорядкованого простору ординальних чисел

Для кожного аi покладемо f (ai) = bi. Очевидно, що відображення f є ізоморфізмом. :

Зауваження: нескінченні лінійно впорядковані множини однакової потужності можуть і не бути ізоморфними. Наприклад, множина натуральних чисел і множина цілих чисел із природними порядками. Потужності цих множин рівні, але вони не є ізоморфними, тому що в N є найменший елемент, а в Z найменшого елемента немає.

Визначення 2.3. Порядковим типом лінійно впорядкованої множини А називається клас всіх лінійно впорядкованих множин, ізоморфних множині А.

Будемо вважати, що порядковий тип порожньої множини є 0.

Позначимо через n порядковий тип n - елементної множини

Nn = {0, 1, 2,…,n-1}с порядком 0 < 1 < 2 <...< n-1.

§3. ПОРЯДКОВИЙ ТИП

Визначення 2.4. Множина натуральних чисел із природним порядком і всі ізоморфні йому лінійно впорядковані множини називаються множинами порядкового типу .

Пропозиція 3.1. Нескінченне лінійно впорядкована множина А має порядковий тип тоді й тільки тоді, коли воно задовольняє наступним умовам:

у множині А є найменший елемент a0;

для будь-якого а А існує точна нижня грань а' у множині {x | a < x, x A};

3) для будь-якої підмножини Х множини А з того, що а0 Х и Х

містить разом з кожним своїм елементом безпосередньо наступний за ним елемент, треба, що Х = А.

Доказ.

Нехай лінійно впорядкована множина А задовольняє умовам 1)- 3). Доведемо, що А має порядковий тип , тобто А ізоморфно множині N.

З умови (1) треба існування в множині А найменшому елементі а0.

Розглянемо відображення f: N A, задане в такий спосіб: f (0) = a0,

f (n + 1) = (f (n))’, де n = 0, 1, 2,…Існування (f (n))’ для кожного n забезпечується умовою (2). Тоді внаслідок умови (3) f(N)=A. Таким чином, f інвективне й сюрективне, отже, взаємно однозначно. Доведемо, що f зберігає порядок: візьмемо n, m N, нехай для визначеності n < m . З умови (2) треба, що f (n) < (f (n))’ f (m),

тобто f (n) < f (m). Отже, f зберігає порядок.

Таким чином, f – взаємно однозначне відображення N A, що зберігає порядок. Отже, множина А має порядковий тип .

Нехай є нескінченне лінійно впорядкована множина А, що має порядковий тип . Множина N задовольняє умовам 1) – 3), а множина А ізоморфно йому, тому й множина А задовольняє умовам 1) – 3). :

Визначення 2.5. Порядковим типом * називається клас лінійно впорядкованих множин, еквівалентних множині N із двоїстим порядком: 1 > 2 > 3 >…

Пропозиція 3.2. упорядкована множина є цілком упорядкованим тоді й тільки тоді, коли воно не містить підмножину типу *.

Доказ.

Припустимо, що цілком упорядкована множина А містить підмножину Х типу *. Тоді в Х немає найменшого елемента, що суперечить цілком упорядкованості множини А. Отже, в А немає підмножин типу *.

Нехай множина А не містить підмножина типу *. Доведемо, що А є цілком упорядкованою множиною. Припустимо, що це не так, тобто А містить підмножина В, у якому немає найменшого елемента. Візьмемо який-небудь елемент множини В, позначимо його b1. Тому що в У немає найменшого елемента, то існує елемент b2 , для якого b2 < b1. Повторюючи це міркування, будуємо для кожного n N елемент bn+1 B, причому:

bn+1 < bn.

Одержали множину {b1, b2, … , bn, ... . .} яке є підмножиною множини А и має тип * - протиріччя. :

§4. ВЛАСТИВОСТІ ОРДИНАЛЬНИХ ЧИСЕЛ