Курсовая работа: Двойственность в линейном программировании

A₀ = 2 A = 0 -4 1 2 -1 0

3 0 3 0 0 1 1

1 0 0

2 -4 3

A«’ = 0 1 0

-1 2 0

1 -1 0

0 0 1

Двойственная задача. Найти максимальное значение линейной функции f=y₁ +2y₂ +5y₃ при ограничениях

y₁ > 0

2y₁ – 4y₂ + 3y₃ > 1,

y₂ > 0,

(-y₁ )+ 2y₂ >(-1),

y₁ – y₂ + y₃ = -3, y₃ > 0

Оптимальный план исходной задачи X = (0; 1/3; 0; 11/3; 4; 0), при котором получим Z_min = -46/3. Используя эту итерацию, найдем оптимальный план двойственной задачи. Согласно теореме двойственности оптимальный план двойственной задачи находится из соотношения Y= C*D^{-1 ,} где матрица D^-1 - матрица, обратная матрице, составленной из компонент векторов, входящих в последний базис, при котором получен оптимальный план исходной задачи. В последний базис входят векторы A_5, A_4, A_{2 ;} значит,

1 -1 2

D = (A _5, A _4, A ₂₎ = -1 2 -4

1 0 3

Обратная матрица D ^-1 образована из коэффициентов, стоящих в столбцах A₁ , A₃ , A₆ четвертой итерации:

2 1 0

D ^{-1 =} -1/3 1/3 2/3

-2/3 -1/3 1/3

Из этой же итерации следует С = (–3; –1; 1). Таким образом

2 1 0

Y=С*D^-1 =(-3; – 1; 1) -1/3 1/3 2/3

-2/3 1/3 1/3

Y=(-19/3; – 11/3; – 1/3),

т.е. y_i =С*Х_i , где Х_i – коэффициенты разложения последней итерации, стоящие в столбцах векторов первоначального единичного базиса.

Итак, i-ю двойственную переменную можно получить из значения оценки (m+1) – й строки, стоящей против соответствующего вектора, входившего в первоначальный единичный базис, если к ней прибавить соответствующее значение коэффициента линейной функции: