Курсовая работа: Формирование инвестиционного портфеля

где X _Á - линейное многообразие, определяемое следующим образом:

(3.4.4)

Предположим, что задача (3.4.3) с условием (3.4.4) обладает свойствомединственности, и среди D _j , удовлетворяющих условиям Куна-Таккера существуетотрицательное D _j0 , т.е.

(3.4.5)

Пусть Á ^' - множество индексов, полученное из Á вычитанием индекса j₀ :

(3.4.6)

Тогда, если x^* ' - оптимальный вектор задачи

(3.4.7)

то справедливо неравенство:

f(x* ')<f(x* )

(3.4.8)

Доказательство.

Так как в силу выполнения соотношения (3.4.6) и определения множеств X _Á и X _{Á '} вытекает, что X _{Á '} É X _Á то имеет место неравенство f( x^* ') £ f( x^* ) . Следовательно длядоказательства соотношения (3.4.8) достаточно показать, что f( x^* ') ¹ f( x^* ) .

Предположим, что это не так. Тогда точка x^* являетсяоптимальной длязадач (3.4.3) и (3.4.7), и удовлетворяет условиям Куна-Таккера в обоих задачах:

(3.4.9)

(3.4.10)

Добавим в правую часть равенства (3.4.10) член 0e_j0 . Поскольку, по предположению (3.4.5) леммы коэффициент D _j0 отличен от нуля, получаем разложение вектора градиента функции f по системе векторов { L₁ , .. L_m , e_j (j Î Á (x*) }. Получаем противоречие с условием единственности, а стало быть, и с условием основной леммы.

Доказанная лемма указывает направление перебора множеств индексов Á ^k (а стало быть и многообразий), уменьшающее значение целевой функции f(x).

Из доказанной леммы вытекает

Алгоритм поиска оптимального вектора

Общий вид алгоритма метода субоптимизации для задачи выпуклого программирования приведен на рис. 1. Ниже приводятся описания блоков алгоритма, изображенных на этом рисунке.

Блок 1. Определяется допустимая начальная точка x¹ для исходной задачи. Это может быть точка, получаемая с помощью алгоритма построения начального базиса линейного симплекс-метода, или же решение в некотором смысле близкой линейной задачи. Предполагается Á ¹ = Á (x¹ ), k=1.

Блок 2. Находится оптимальный вектор x^*k для задачи

Если x^*k оказывается допустимой для исходной задачи (3.4.1), совершается переход к блоку 3, в противном случае осуществляется переход к блоку 4.

Блок 3. Вычисляется значение

Если

то в силу выполнения условий Куна-Таккера для исходной задачи (3.4.1) точка x^*k является оптимальной точкой задачи (3.4.1) и работа алгоритма заканчивается.

Если

то предполагаем

и происходит переход к блоку 2.

Блок 4. Поскольку оптимальная точка вспомогательной задачи оказалась недопустимой для исходной, выбираем в качестве новой начальной точки ближайшую к ней точку, допустимую для исходной задачи (3.4.1), и лежащую на прямой, соединяющей оптимальные точки вспомогательной задачи, т.е.

Далее полагаем Á ^k+1 = Á (x^k+1 ), заменяем k на k+1, и переходим к блоку 2.

Таким образом построен итерационный процесс, позволяющий осуществить направленный перебор множеств индексов Á ^k , позволяющий найти оптимальный вектор исходной задачи. Сходимость процедуры будет рассмотрена позже.

3.5 Метод субоптимизации на многообразиях. Задача квадратичного программирования .

Рассмотрим применение метода субоптимизации, рассмотренного в (3.4)к задаче квадратичного программирования (3.1.2). Как было ранее отмечено, условием успешного применения метода субоптимизации на многообразиях в задаче выпуклого программирования является существенная простота решения задачи (3.4.2) по сравнению с исходной задачей (3.4.1).